在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E,F分别为AB.PC的中点

显示全部楼层 · 2013-3-27 20:27:32

解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵CD⊥AD，CD⊥平面PAD．∴CD⊥PD．（4分）（2）取PD中点M，连接FM，AM，∵F为PC中点∴FM∥CD，FM=1/2 CD∵E为AB中点，ABCD为矩形，∴AE∥CD，AE=1/2 CD，∴AE∥FM，AE=FM，∴AEFM是平行四边形，∴EF∥AM，∵AM?平面PAD，∴EF∥平面PAD，（8分）（3）取CD中点G，连接FG，EG∵E，G为矩形ABCD中AB，CD中点，∴EG⊥CD．∵F，G为PC，CD中点，∴FG∥PD，FG=1/2 PD，∵PD⊥CD，∴FG⊥CD．∴∠FGE为二面角P-CD-A的平面角∵∠PAD=90°，M为AD中点，∴EF=AM=1/2AD，∴EF=FG又∵FG⊥CD，EG⊥CD，FG∩EG=G，∴CD⊥平面EFG，∵EF?平面EFG，∴CD⊥EF，∵FG?面PCD，CD?面PCD，FG∩CD=G，∴当EF⊥FG即∠EFG=90°时，EF⊥面PCD，此时∠FGE=45°（12分）