圆柱薄壳法 先画个图，图的样子是一个曲边梯形，平行的两边是x=a,x=b，上下分别是y=f(x)和x轴 将曲边梯形沿x轴分割成若干个小的曲边梯形，则大的曲边梯形绕着y轴旋转地体积等于各个小曲边梯形绕着y轴旋转地旋转体体积之和 所以，该体积在[a,b]上对于变量x具有可加性 在[a,b]任取一小区间[x,x+dx]，并设其旋转体积是ΔV（旋转后是个圆柱的薄壳）(令dx=Δx>0) 则，ΔV介于两圆柱薄壳的体积之间 2πx|f(ξ1)|Δx≤ΔV≤2πx|f(ξ2)|Δx 其中，|f(ξ1)|=min{|f(t)|}, x≤t≤x+Δx |f(ξ2)|=max{|f(t)|}, x≤t≤x+Δx 即，2πx|f(ξ1)|≤ΔV/Δx≤2πx|f(ξ2)| 由于f(x)连续，ξ1,ξ2∈[x,x+Δx] 可知，当Δx→0,f(ξ1)→f(x),f(ξ2)→f(x), 所以，以上不等式两边取极限Δx→0 得到，dV/dx=lim(Δx→0)[ΔV/Δx]=2πx|f(x)|从而，dV=2πx|f(x)|dx 作x从a到b得定积分 V=∫[a到b]2πx|f(x)|dx
|
