已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).

显示全部楼层 · 2009-11-5 14:12:07

1、f(x)=-2lnx+x^2f'(x)=-2/x+2x=2(x+1)(x-1)/x当x>1时，f'(x)>0，所以函数在x>1时是增函数；2、f'(x)=a/x+2x=(x^2+a)/x，定义域x>0所以函数的单调性看x^2+a的符号。在[1,e]上，a+1-1时，增，f(1)=1最小（2）a=x^2-2x,所以就是求(x^2-2x)/(x-lnx)的最大值，只要a大于等于最大值，就会恒成立。令g(x)=(x^2-2x)/(x-lnx)则g'(x)=(x^2+x-2-(2x-2)lnx)/(x-lnx)^2判断g'(x)的符号就看h(x)=x^2+x-2-(2x-2)lnx的正负h'(x)=x+2/x-2lnx>0恒成立。（因为x+2/x>=2根号2，而lnx0，g(x)单增，最大值为：g(e所以,a>=(e^2-2e)/(e-1)即可。如果算错数了，你自己改一下，方法没问题。

千问 · 2009-11-5 14:12:07

第一小题可把a=-2代入，然后求导数即可第二小题，首先很容易看出f（1）=1，f（e）=a+e2，然后对函数求导数（注意此时a是不确定的常数）确定单调性并求极值，最后将端点函数值与极值比较，最小的即为最小值第三小题，首先可以构造函数F（x）=f（x）-（a+2）x，显然F(x)在【1，e】可导，之后仍然是求导数确定单调性，代入端点函数值，注意讨论a的正负