在三角形ABC中,中线BE,CF交予点O,且BE垂直CF,AC=b,AB=c(c>b)求BC的长

显示全部楼层 · 2012-7-17 22:29:17

设OE=x,OF=y,BC=a,根据重心的性质，BO=2OE,CO=2OF，BE⊥CF，△BOF，△COE，△BOC均是RT△，BO^2+OF^2=BF^2,CO^2+OE^2=CE^2,BO^2+CO^2=BC^2,x^2+(2y)^2=(b/2)^2,x^2+4y^2=b^2/4,........(1),4x^2+y^2=c^2/4,.........(2),4x^2+4y^2=a^2,...........(3),(1)+(2)得：,5(x^2+y^2)=(b^2+c^2)/4,x^2+y^2=(b^2+c^2)/20,a^2=4(x^2+y^2)=(b^2+c^2)/5,∴a=√5（b^2+c^2)/5.

千问 · 2012-7-17 22:29:17

中线交点把中线分成1:2所以设OB=x,OC=ya^2-x^2=(b/2)^2-(x/2)^2(a^2-y^2)=(c/2)^2-(y/2)^2x^2+y^2=a^23个未知数3个方程，可以解出a

千问 · 2012-7-17 22:29:17

设BC=a，BD、CE相交于点O则DE=1/2a∵OE2+OB2=(1/2c)2=1/4c2OC2+OD2=(1/2b)2=1/4b2∴OE2+OB2+OC2+OD2=1/4c2+1/4b2∵OB2+OC2=a2，OD2+OE2=DE2=1/4a2∴1/4c2+1/4b2=a2+1/4a2∴5a2=b2+c2∴a=√5/5[√(b2+c2)]即BC=√5/5[√(b2+c2)]

千问 · 2012-7-17 22:29:17

ef//BC因为EF都是中点,所以EF=0.5BCCO=XOE=YBO=QOF=P因为垂直X^2+Y^2=AC^2=B^2/4P^2+Q^2=BF^2=C^2/4BC^2=Q^2+X^2EF^2=Y^2+P^2=0.25*BC^2X^2+Y^2+P^2+Q^2=(B^2+C^2)/4=BC^2+EF^2=1.25BC^2\所以BC=根号[(B^2+C^2)/5]