3x+1问题（1）zz(转载)

显示全部楼层 · 2021-1-29 12:51:26

【以下文字转载自AAIS讨论区】【原文由dionysus所发表】
发信人:yapollo(绿太阳*淡出~~不再放任*),信区:Science标题:3x+1问题（1）zz发信站:BBS水木清华站(SunAug1220:36:412001)
网址:http://www.myscience.com.cn/magazine/200107/010714.htm
3x+1问题
　　　异调
一、一个简单的问题
当我们阅读数学史时，会有这样一种印象，数学家们首先研究简单的问题，然后研究越来越复杂的问题。经常性地，高深的数学问题是非常复杂的。只是为了理解问题，我们就得学习非常多的数学知识；而为了解决它，那就得用更复杂的数学知识了。就算我们在学校里的数学考试也是如此，最后一题经常被叫做“最后一大题”，“一大题”是说它表达复杂，里面还有一二三四的小题，要理解题意就得几分钟的时间。弄不好还理解错了，搞得整道题都白白做，被扣去许多分。
可是数学里不只有这些吓人的“大题”——我是说，数学里还有吓人的“小题”。这样的“小题”理解起来非常容易，却让无数数学家大跌眼镜，怎么冥思苦想也不得其解。3x+1问题大概就是其中最著名而又最简单的一个。它简单到大概任何一个会除2和会乘3的人（比如说，没文化但是经常买菜的老奶奶）都能理解它的意思，但是困难得让数学家至今也没有找到好好对付它的方法。
任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1。在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数。如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数。
比如说我们先取5，首先我们得到3*5+1=16，然后是16/2=8，接下去是4，2和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在4→2→1这个循环中了。
再举个例子，最开始的数取7，我们得到下面的序列：7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在4→2→1这个循环中。
随便取一个其他的自然数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得到1。已经有人对所有小于100*250=112589990684262400的自然数进行验算，无一例外。
那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？
这看起来是个多么简单的问题啊！
二、克格勃的阴谋？
这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的。在西方它常被称为西拉古斯(Syracuse)猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古斯大学被研究的；而在东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家
角谷静夫的名字命名，被称作角谷猜想。除此之外它还有着一大堆其他各种各样的名字，大概都和研究和传播它的数学家或者地点有关的：克拉兹(Collatz)问题，哈斯(Hasse)算法问题，乌拉姆(Ulam)问题等等。今天在数学文献里，大家就简单地把它称作“3x+1问题”。
角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大学发生了。有人猜想，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。”不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑。这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求。
数学家们已经发表了不少篇严肃的关于3x+1问题的数论论文，对这个问题进行了各方面的探讨，在后面我会对这些进展作一些介绍。可是这个问题的本身始终没有被解决，我们还是不知道，“到底是不是总会得到1？”
在1996年B.Thwaites悬赏1100英镑来解决这个问题。我写一下这个悬赏的文献：Thwaites,B.“TwoConjectures,orHowtowin￡1100.”Math.Gaz.80,35-36,1996，好在大家万一证出来时知道跑哪里去领奖。看在钱大爷的份上，3x+1问题于是又多了个名字，叫Thwaites猜想。
要是真的有这么一个自然数，对它反复作上面所说的变换，而我们永远也得不到1，那只可能有两种情况。
1)它掉到另一个有别于4→2→1的循环中去了。我们在后面可以看到，要是真存在这种情况，这样一个循环中的数字，和这个循环的长度，都会是非常巨大的；2)不存在循环。也就是说，每次变换的结果都和以前所得到的所有结果不同。这样我们得到的结果就会越来越大（当然其中也有可能有暂时减小的现象，但是总趋势是所得的结果趋向无穷大）。
因为这是个形式上很简单的问题，要理解这个问题所需要的知识不超过小学三年级的水平，所以每一个数学爱好者都可以来碰碰运气，试试是不是能证明它。不过在这里我要提醒大家的是，已经有无数数学家和数学爱好者尝试过，其中不乏天才和世界上第一流的数学家，他们都没有成功。如果你在几小时内就找到了一个“证明”，那么把它一步一步地严格地写下来，看看是不是严密正确（我可以肯定它是错的，我这样的肯定要冒的危险绝不超过连续中十次彩票头奖的概率，既然我不买彩票，我就没道理不这么肯定:-)）。事实上，在互联网上已经有一些错误的“证明”。据说还有个数学爱好者跑到公证处去公证他的“证明”，生怕别人把他的好主意偷跑了。
二十多年前，有人向伟大的数论学家保尔·厄尔多斯(PaulErdos)介绍了这个问题，并且问他怎么看待现代数学对这问题无能为力的现象，厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题。”