广告：2011年春，几何学低年级讨论班，“代数曲线”

显示全部楼层 · 2021-1-29 03:14:45

2011年春季学期，几何学低年级讨论班。
主题：代数曲线。
参考书：以Gibson《代数曲线几何初步》（ElementaryGeometryofAlgebraicCurves）为主。另外参考Bix的ConicsandCubics。较高级的参考读物有Kirwan的ComplexAlgebraicCurves，但适合在学完前两本书及复变函数和初步的拓扑之后再读。
时间：每周四下午，1点半-4点半。地点：理科一号楼1568。选课人数：20人以内。（欢迎旁听。）形式：平时由各位同学独立或分组研读各章节，我安排一个固定的答疑时间。周四下午除开报告，并加上大家共同进行的“例题研究”和“扩展讨论”。
评分：分为三部分，作业占20%，报告占40%，期末论文或口试占40%。学期当中将有4-6次作业，要求上交，批改后发还。每人至少要在讨论班报告一次，每次还将邀请/指定其他两人为评议人，在报告后提问、评论并与我一起给出评分。期末每人可选择写一篇读书报告/小论文，或接受我的口试。小论文主题自选或与我商定，以独立思考或完整理解取胜均可。口试将以解答代数曲线的具体例子和问题为主，理论为辅。
以上是基本信息，下面是课程导言：
在第一学期的几何学课上，我们了解到实二次曲线（及二次曲面）的分类，知道用线性代数和矩阵工具可以给出非常漂亮的处理。在射影几何那部分，我们又知道椭圆、抛物线和双曲线可以统一，所有非退化的二次曲线彼此是射影等价的。不单如此，关于它们还有很多神妙的事情，例如：Pascal定理，五点决定一二次曲线，二次曲线上四点也可以谈交比和调和点列，配极对应，圆锥曲线的中心可以用射影方法定义，甚至可以用交比来引入度量……
更进一步，你有没有想过以下问题：对于三次乃至更高次数的代数曲线，可否用同样的方法加以研究？比如，怎么分类？几点决定？有无非常好的特殊类型？代数曲线的次数（代数量）与其几何性态有什么联系？从代数上看，把数域从实数换成复数或其它有限域都是可以的。那么结论有差别吗？……
你听说过下面的事情吗？——代数曲线上可以有“奇点”和“拐点”，并且一般只有有限多个。它们可以用纯代数的方法定义。——一条m次和一条n次曲线若没有公共的分支，则最多有m*n个交点；若是复代数曲线并在复射影平面上考察，交点计重数，则恰有m*n个交点（Bezout定理）。——复三次不可约正则曲线可以化成标准型y^2=x(x-1)(x-a)。——两条无公共分支的三次曲线若交于不同的9点，则过其中8点的任何一条其它三次曲线必过第9点。由此可证明二次曲线的Pascal定理。——三次曲线C的点集上可以引入加法，使其成为一个交换群！这个代数运算的引入有着极其简单的几何直观：过C上两点作一直线，交C于第三点，则定义其为前两点的“和”。（若是复三次不可约正则曲线，那么它在拓扑上其实就是一个环面，而环面上是可以定义加法的，这个直观引导我们到拓扑和Riemannsurface的领域……）——更进一步，三次曲线上的有理点对于这个加法是封闭的。Moedell定理说，这个群是有限生成的交换群。（我们跑到数论的领域里来了，这方面的深远发展导致了Fermat大定理的证明。）……
代数曲线的研究，历史很长，追溯到古希腊人设法用它们来解决古典三大作图难题。
代数曲线的学习，起点可以很低，低到大一的同学就可以上手并很快理解。
代数曲线的联系，很广很广，把我们的数学分析、高等代数、几何学（微分几何）、抽象代数等统统用进来，并激发大家对数论/组合、拓扑学、复变函数、微分流形、代数几何等课程的兴趣。
代数曲线的研究，可以很深很前沿。比方说，现在研究四维流形上的结构，以及物理学中的弦论，代数曲线（或曰Riemannsurface）都在其中有着核心的地位。
交代这些，当然是为了勾起大家的兴趣，做做广告。下面呢，作点说明。
往年我指导过两次（共计三个学期）低讨班，都是以Stillwell的GeometryofSurfaces为参考书，以双曲几何和常曲率曲面的几何与拓扑作为主题。按说很熟的东西，照着来就是了。但那样对我来说有点乏味，想搞搞新意思。代数曲线和李群初步，就是我的候选科目之一。
最后选择了代数曲线，首先是从我自己的角度来说，研究中对复变和Riemannsurface用得很多，希望对相关的东西加深理解。从大一同学的角度说，这个主题容易上手，并且是上学期几何学的直接后续。最后，则是因为这个领域真的非常基本而重要。这方面，范后宏老师有更鲜明的观点，他甚至希望能在数院有一个长期（常年）的“代数曲线”讨论班。
从Gibson这本清楚而初等的书出发，我希望到学期末我们可以对三次曲线的中心结果和相关方法、结论有一个初步的了解。之后，你们可以进一步研读Kirwan的书，并往后学习Riemann面和代数几何的东西。
选课有绩点的限制，也有另外两门数分和高代低讨班的竞争。我这方面不必多说。对这个主题感兴趣的同学，可以来找我谈，也可以自己先拿这书看看（我这先买了5本），还可以等下学期最初一两次先试听再说。另外，这本书对基础要求不高，但是希望来的是真有兴趣的同学。（以前参加过我的低讨班的同学也欢迎来参加。）
我以前组织这个低讨班时，常显得挑剔和批评多，现在想来大可不必。讨论班提供的是一个环境和一个群体，让大家可以被激发起来，追求数学上有意思的东西，得到多方面的成长。进步有快有慢，重要的是那种被点燃和激发的体验。我期望我们能成为彼此的良师益友，在一个宽松的氛围中共同成长。
-----------（1月14日补充：关于绩点限制，是指教务规定，一学期若要超25学分选课，则上学期/上学年的绩点必须达到3.7。我本人一般不看重绩点。）