先证一致连续。反设f(x)不一致连续，则存在ε0，使对任意δ0，都可以找到xy≥0，满足x-yδ且|f(x)-f(y)|ε。而由f(x)在[0,+∞)连续，f(x)在有界闭区间上一致连续，因此对任意A0，总可要求上述x,y满足xyA。
对任意正整数k，定义集合E_k={a0|存在xk，使|f(x+a)-f(x)|ε/2}。由f(x)连续，易见E_k为开集。以下证明E_k在(0,+∞)稠密。对任意b0，由x→+∞时f(x+b)-f(x)→0，存在N0，使xN时总成立|f(x+b)-f(x)|ε/2。任取δ0，已知存在xyA=max{N,k}，使x-yδ且|f(x)-f(y)|ε。于是有|f(x+b)-f(y)|ε/2，从而b+(x-y)∈E_k。由b和δ的任意性，E_k在(0,+∞)稠密。
E_1，E_2，E_3，…是(0,+∞)中的一列稠密开集，由Baire纲定理，它们的交非空。于是存在a0，使对任意k0，存在xk，使|f(x+a)-f(x)|ε/2。这与x→+∞时f(x+a)-f(x)→0矛盾，因此f(x)一致连续。
再证收敛的一致性，不妨限定a∈[0,1]。反设f(x+a)-f(x)的收敛关于a∈[0,1]不一致，则存在ε0，使对任意A0，都存在xA与a∈[0,1]，满足|f(x+a)-f(x)|ε。由此可得一列x_n→+∞与a_n∈[0,1]，满足|f(x_n+a_n)-f(x_n)|ε。通过适当选取子列，不妨设a_n收敛于b。
由f(x)一致连续，且a_n→b，可知f(x_n+a_n)-f(x_n+b)→0。又由x_n→+∞且x→+∞时f(x+b)-f(x)→0，可知f(x_n+b)-f(x_n)→0。从而f(x_n+a_n)-f(x_n)也收敛到0，与|f(x_n+a_n)-f(x_n)|ε矛盾，因此收敛是一致的。
adolcristin (轩辕空幻) 在 ta 的帖子中提到：f（x）在[0,+∞)上连续，且f（x+a）-f（x）在x趋于正无穷的时候趋于0对任意的非负的a成立，求证f=g+h，其中g在[0,+∞)连续且x趋于正无穷时g趋于0，h在[0,+∞)可导且h'在x趋于正无穷时趋于零。问题就是这样，求助解答
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