求教：集合和有限域的一个问题

显示全部楼层 · 2021-1-29 04:22:41

F是特征2的有限域,m整除|F*|。x是F的m-th本原单位根，且不属于F的任何更小的子域。是否存在F的三个非零元素a,b,c使得以下三个条件同时成立：（1）集合{a_1,a_2,...,a_m,b_1,b_2,...,b_m}={a,ax,...,ax^{m-1},b,bx,...,bx^{m-1}}.注意到集合并不规定元素顺序。（2）b_i=a_i+cx^{i-1}，i=1,2,...m（3）a_1+a_2+...+a_m=c/(1-x).
谢谢了

千问 · 2021-1-29 04:22:41

只要m小于|F|-1就好(为了使F有2m元的子集...)任取非零元素a,b,c满足b/a不是x的方幂，c=b-a;x不属于F的任何更小的子域说明F=F_2(x),故存在{1,...m}的子集I使得\sum_{i\inI}x^{i-1}=1/(1-x);对1=i=m，若i属于I则令(a_i,b_i)=(b*x^{i-1},a*x^{i-1})，否则令(a_i,b_i)=(a*x^{i-1},b*x^{i-1})，那么这组数满足要求(1)~(3).
addyme (一江水) 在 ta 的帖子中提到：F是特征2的有限域,m整除|F*|。x是F的m-th本原单位根，且不属于F的任何更小的子域。是否存在F的三个非零元素a,b,c使得……