[求问]很奇怪的一个问题

显示全部楼层 · 2021-1-29 04:25:29

假设有两组实数A1，A2，A3.....ANB1，B2，B3.....BN
它们有下列关系
A1*AN=BNA1*A(N-1)+A2*AN=B(N-1)A1*A(N-2)+A2*A(N-1)+A3*AN=B(N-2)....A1*A1+A2*A2+A3*A3+....+AN*AN=B1
有没有可能把A1，A2，A3写成B1，B2，B3的表达式？

千问 · 2021-1-29 04:25:29

定义f(x)=(A1+A2x+A3x^2+...+ANx^(N-1))(A1+A2/x+A3/x^2+...+AN/x^(N-1))将f(x)的表达式展开，得f(x)=B1+B2(x+1/x)+B3(x^2+1/x^2)+...+BN(x^(N-1)+1/x^(N-1))
首先由f(1)=(A1+A2+...+AN)^2=B1+2B2+2B3+...+2BN，知A1+A2+...+AN=±sqrt(B1+2B2+2B3+...+2BN)；接着由f(-1)=(A1-A2+A3-...)^2，又可得A1-A2+A3-...+(-1)^(N-1)*AN的值，由此可得A1+A3+A5+...；再考虑f((-1+sqrt(3)i)/2)=(A1-A2/2-A3/2+A4-A5/2-A6/2+A7-...)^2+(3/4)(A2+A3+A5+A6+...)^2=(A1+A2+A3+...)^2-3(A1+A4+A7+...)(A2+A3+A5+A6+...)，可得(A1+A4+A7+...)(A2+A3+A5+A6+...)的值，又因为两因式之和（=A1+A2+A3+...）是已知的，因此可得A1+A4+A7+...的值。以此类推，将1的n次复根（n=2,3,4,...,N-1,N）代入f(x)的表达式中，即可解得A1+A5+A9+...、A1+A6+A11+...、……、A1+AN、A1的值。由A1和A1+AN可算出AN，依次往前即可解出A(N-1)、A(N-2)、……直至A2的值。
（当然，把最终结果写成通项公式可能有些困难，这里只是提供了一种解的方法）pigsoul (pigsoul) 在 ta 的帖子中提到：假设有两组实数A1，A2，A3.....ANB1，B2，B3.....BN它们有下列关系A1*AN=BNA1*A(N-1)+A2*AN=B(N-1)A1*A(N-2)+A2*A(N-1)+A3*AN=B(N-2)....A1*A1+A2*A2+A3*A3+....+AN*AN=B1有没有可能把A1，A2，A3写成B1，B2，B3的表达式？...........................