求所有的三个正整数,满足三数之和等于三数之积

显示全部楼层 · 2007-8-2 13:51:08

设中间哪个数为n则有n+1+n+(n-1)=(n-1)n(n-1) 即:3n=n^3-n解得n=2或n=0(舍)或n=-2(舍)所以有唯一解:1,2,3

千问 · 2007-8-2 13:51:08

设这三个数是X，Y，Z，X，Y，Z为整数，所以得到方程：X*Y*Z-X-Y-Z=0，进一步变形可得到：1/X*Y+1/Y*Z+1/Z*X=1；这是一个对称式。不妨设X〈=Y〈=Z；且1/X*Y〉=1/X*Z〉=1/Y*Z；进一步设1/X*Y=1/3+M，1/X*Z=1/3+N，1/Y*Z=1/3-M-N；求出X，Y，Z在一种情况下的解，在根据对称式的性质求出其它解。

千问 · 2007-8-2 13:51:08

这个题目好像不能列方程，楼上几位列的方程都是假设三个数相连的，但题目里面可没这个要求啊，我试了一些数，好像除1，2，3之外都不行，数越大差的越远，但是我无法证明这是唯一的解但可设：x,x+a,x+b 则3x+a+b=x(x+a)(x+b)化简为x^3+(a+b)x^2+(ab-3)x-(a+b)=0下面是我在网上查找的关于三次方程的解法，但看起来很麻烦：一元三次方程的一般形式是:x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如:x3=px+q的三次方程。假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数, 代入方程，我们就有:a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到:a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q.由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为a3-b3=q,两边各乘以27a3，就得到: 27a6-27a3b3=27qa3.由p=-3ab可知:27a6 + p = 27qa3, 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。

千问 · 2007-8-2 13:51:08

唯一的解1,2,3

千问 · 2007-8-2 13:51:08

1，1，11，2，3设中间哪个数为X,可得方程:X+1+X+(X-1)=(X=1)X(X-1)

千问 · 2007-8-2 13:51:08

1,2,3