线性相关的一道题请教

显示全部楼层 · 2021-3-12 12:02:18

题目: 设4维列向量a1,a2,a3线性无关,且与4维列向量b1,b2均正交,证明b1,b2线性相关.
这道题是李书2006版的第63页的习题,他最后的解答是
通过证明b1,b2都是齐次方程组Ax=0的解(具体过程这里就不写了),
得到r(b1b2)=r(b1,b2)
即r(b1,b2)<=4-3=1.而两向量的秩小于等于1(b1,b2为零向量也成立).可知b1,b2线性相关.
很感谢各位.

千问 · 2021-3-12 12:02:18

A=(a1,a2,a3)
R(A)=3
ai,bi是四维向量
Ax=0的基础解系,向量个数=4-3=1
任意两个Ax=0的解必然相关

千问 · 2021-3-12 12:02:18

把a1 a2 a3看作是A把b1 b2看作是x，因为正交所以啊，AX=0,又因为A的三个向量是线性无关的，所以解向量的个数为一，所以 r(b1b2)<=n-r(A)=4-3=1, 从而b1,b2就线性相关.