【求助函数】二李复习全书上写有可积函数有原函数怎么理解（已解决）

显示全部楼层 · 2021-3-12 12:18:58

【背景】看了论坛里关于可积性、原函数之间关系的一些帖子，大致有以下结论，小结如下：
1。连续函数必有连续的原函数，且原函数可导。（另外，只要原函数存在，那必连续可导）
2。函数有第一类间断点，则不存在原函数。
3。函数有第二类间断点，则原函数存在性不确定。
4。函数可导，则它的导函数可能连续、也可能有第二类间断点。（是函数和原函数关系的推论）
5。可积对应定积分概念，原函数对应不定积分。
【我的问题】
1。上面小结，有错的，请指正！
2。二李复习全书P63（个版页数差别不大），有[定理3.1]写出可积函数存在原函数，该怎么理解？（怎么不能传附件？图如下）

[ 本帖最后由 shopinxie 于 2007-11-13 12:31 编辑 ]

千问 · 2021-3-12 12:18:58

结论都对的，这些证明只要记住就行
第一题的证明同济5版牛顿莱布尼茨公式那节就有
第二题用导数定义证明
第三题能举出存在反例（这个反例大多资料上都有，我就不写了）
第四题是第三题的推论
第五题肯定正确了
下面的证明本科知识无法解释，结论是对的，记住就行

千问 · 2021-3-12 12:18:58

你的第二个问题
定理3.1只是说那个积分上限函数是个连续函数
并没有说它就是f(x)的原函数
所以 “有[定理3.1]写出可积函数存在原函数” 这属于你的理解错误了呵呵

千问 · 2021-3-12 12:18:58

感谢情谊无价回答，很全~
To 雷西儿：变上限函数不就是f(x)的一个原函数吗？
《复习全书》上写：若f(x)连续，则变上限函数是f(x)的一个原函数。这个怎么理解？

千问 · 2021-3-12 12:18:58

原帖由 shopinxie 于 2007-11-12 10:03 发表
感谢情谊无价回答，很全~
To 雷西儿：变上限函数不就是f(x)的一个原函数吗？
《复习全书》上写：若f(x)连续，则变上限函数是f(x)的一个原函数。这个怎么理解？
变上限函数未必是f(x)的原函数
因为不是所有的积分上限函数求导以后都等于f(x)的
比如若f(x)有有限个第一类间断点求出来的变上限函数F(x)在那些间断点出实际上是不可导的
这个时候就不能满足F'(x)=f(x)
而只有当F'(x)=f(x)时我们才能说F(x)是f(x)的原函数
对于全书上话的理解：只有当f(x)连续时才能保证其积分上限函数F(x)可导且导数等于f(x)这时才能称f(x)有原函数
这就是可积和存在原函数的区别
由此可见存在原函数是比可积更强的性质
那么相应的要求也就更高
存在原函数要求连续
可积不要求连续只要求有有限个第一类间断点即可

千问 · 2021-3-12 12:18:58

简而言之：
存在原函数=>可积
但可积不一定存在原函数
这个知识点主要考选择题
你只要记住就行了
[ 本帖最后由 leeyeede 于 2007-11-12 10:47 编辑 ]

千问 · 2021-3-12 12:18:58

感谢答复，都解决了，世界清净了~

千问 · 2021-3-12 12:18:58

我想说一句
FX 可积和FX存在原函数没有任何关系
就是说 FX 在[A B]可积推不出FX 在[A B] 存在原函数
FX 在[A B] 存在原函数推不出 FX 在[A B]可积