若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c中至少有一数不小于3/2.

显示全部楼层 · 2007-8-27 14:11:59

楼上的回答就直接来个是二次方程的根来得有点迁强，别人看不懂，因此本人来解释一下。因为abc=1，所以c=1/ab，把c代入a+b+c=0得到a+b+1/ab=0两边同乘以a得到a^2+ba+1/b=0由题意知a，b，c满足a+b+c=0；因此a,b也必须要满足a^2+ba+1/b=0，所以这个以a为未知数的方程必须有解，也就是△=b^2-4/b≥0，然后整理得到b^3≥4>3.375//3.375就是1.5的3次方，自已可以算一下。所以b>1.5因此楼主的题应该是a,b,c中至少有一个数不小于3/2不是2/3

千问 · 2007-8-27 14:11:59

反证法从题目中可知a,b,c中必然有两个负数一个正数不妨设a>0,ba因为b+c=-a,bc=1/a，联想到韦达定理令b,c为方程x^2+ax+1/a=0的两根因为b,c为实数，该方程必有解所以Δ=a^2-4*1/a≥0所以a^3≥4又因为27/8>a^3且4>27/8所以假设不成立所以三个数中必定有一个大于3/2