求2005-2007年的全国初中数学联赛试题

显示全部楼层 · 2007-9-2 22:33:03

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案 (由于需要图形说明发表受限制。。请点参考资料链接) 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）. （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处. 故选C． 2．已知，，且，则的值等于（）（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C．解：由已知可得，．又，所以，解得．故选C． 3．Rt△ABC的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为，则（）（A）（B）（C）（D）答：B．解：设点A的坐标为，点C的坐标为（），则点B的坐标为，由勾股定理，得，，，所以．由于，所以，故斜边AB上高．故选B． 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 答：B．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过次后，可得（＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（＋1）×360°．因为这（＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为 34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（＋1）－34＝－33（个），而这些多边形的内角和不少于（－33）×180°．所以（＋1）×360°≥34×60×180°＋（－33）×180°，解得 ≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B． 5．如图，正方形内接于⊙ ，点在劣弧上，连结，交于点．若，则的值为（）（A）（B）（C）（D）答：D．解：如图，设⊙ 的半径为，，则，，．在⊙ 中，根据相交弦定理，得．即，所以．连结DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知，，为整数，且＋＝2006，＝2005．若＜，则＋＋的最大值为．答：5013．解：由＋＝2006，＝2005，得＋＋＝＋4011．因为＋＝2006，＜，为整数，所以，的最大值为1002．于是，＋＋的最大值为5013． 7．如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于 . 答：．解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则．由△ADG ∽ △ABC，可得作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言 -------------------------------------------------------------------------------- 2 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全），解得．于是，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 . 8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了米．于是，且 ≤ ，所以， ≤ ＜．故x=13，此时． 9．已知，且满足（表示不超过x的最大整数），则的值等于．答：6．解：因为，所以，，…，等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以＝＝…＝＝0，＝＝…＝＝1，所以， ≤ ＜．故 ≤ ＜，于是 ≤ ＜，所以 6． 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为．根据题意，有81× ＝．记，于是，解得．因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ ＜，故＜ ≤ ．因为为整数，所以＝2．于是．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11（A）．已知， , 为互质的正整数，且 ≤ ，．（1）试写出一个满足条件的x；（2）求所有满足条件的．解：（1）满足条件． ……………………5分（2）因为， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以，即．当a＝1时，，这样的正整数b不存在．当a＝2时，，故b＝1，此时．当a＝3时，，故b＝2，此时．当a＝4时，，与互质的正整数b不存在．当a＝5时，，故b＝3，此时．当a＝6时，，与互质的正整数b不存在．当a＝7时，，故b＝3，4，5，此时，，．当a＝8时，，故b＝5，此时．所以，满足条件的所有分数为，，，，，，． …………………15分 12（A）．设，，为互不相等的实数，且满足关系式 ① 及， ② 求的取值范围．解法1：由①－2×②得，所以．当时，． …………………10分又当＝时，由①，②得， ③ ， ④ 将④两边平方，结合③得，化简得，故，解得，或．所以，的取值范围为且，． ……………15分解法2：因为，，所以＝＝，所以．又，所以，为一元二次方程 ⑤ 的两个不相等实数根，故，所以．当时，． …………………10分另外，当＝时，由⑤式有，即，或，解得，或．所以，的取值范围为且，． …………………15分 13（A）．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：．证明：因为AC‖PB，所以．又PA是⊙O的切线，所以．故，于是 △KPE∽△KAP，所以，作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言 -------------------------------------------------------------------------------- 3 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全）即． ………………5分由切割线定理得，所以， KP＝KB． …………………10分因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是，故，即． …………………15分 14（A）．2006个都不等于119的正整数排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数，，…，， ① 若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和（ ≤ ＜ ≤ ），于是，从而此命题得证． …………………5分对于中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为，所以 ≥ ． ② …………………10分取，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，的最小值为3910． …………………15分 11（B）．已知△ 中，是锐角．从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为；从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为．当和均为正整数时，△ 是什么三角形？并证明你的结论．解：设，均为正整数，则，所以，mn＝1，2，3． …………………5分（1）当mn＝1时，，，此时．所以垂直平分，垂直平分，于是△ 是等边三角形．（2）当mn＝2时，，，此时，或，所以点与点重合，或点与点重合．故，或，于是△ 是等腰直角三角形．（3）mn＝3时，，，此时，或．于是垂直平分，或垂直平分．故，或，于是△ 是顶角为的等腰三角形． …………………15分 12（B）．证明：存在无穷多对正整数，满足方程．证法1：原方程可以写为，于是是完全平方数． …………………5分设，其中k是任意一个正整数，则． …………………10分于是，或．所以，存在无穷多对正整数（其中k是正整数）满足题设方程． …………………15分证法2：原方程可写为，所以可设（x是正整数）， ① 取． ② …………………5分 ① －②得．令（y是任意正整数），则． …………………10分于是．所以，存在无穷多对正整数（其中y是任意正整数）满足题设方程． …………………15分 13（B）．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证：．证明：设AX与⊙O相交于点，连结OB，OC，．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M．因为，所以． ① 又由切割线定理得． ② …………………5分由①，②得，于是 △XMA∽△ ，所以． …………………10分又，所以，于是． …………………15分 14（B）．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．证明：设10个学生为，n个课外小组为．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． …………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组的人数之和不小于＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组的人数不超过5n，故 ≥ ，所以 ≥ ． …………………10分下面构造一个例子说明是可以的．，，，，，．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n的最小值为6． …………………15分