定义在(0,+∞)上的函数f(xy)=f(x)+f(y); 求证f(x/y)=f(x)-f(y)

显示全部楼层 · 2005-10-29 21:51:39

解:y∈(0,+∞)所以1/y∈(0,+∞)f(x*(1/y))+f(y)=f(x*(1/y)*y)=f(x)f(x/y)=f(x)-f(y)

千问 · 2005-10-29 21:51:39

以上的都好厉害啊！我讲一种比较另类的证法：设Y=1由f(xy)=f(x)+f(y)得f(x)=f(x)+f(1)所以 f(1)=0；f[x*(1/x)]=f(x)+f(1/x)=0
即f(x)=-f(1/x)所以f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)f(x/y)=f(x)-f(y)

千问 · 2005-10-29 21:51:39

推理（我才高一，知识有限，推理仅供参考）：因为f(xy)=f(x)+f(y)即输入x和y值分别代入f法则，和输入xy值是一样的可以推出f(x)是对数函数所以很容易就推出f(x/y)=f(x)-f(y)

千问 · 2005-10-29 21:51:39

解令m=xy>0则 y=m/x f(m)=f(x)+f(m/x)移项 f(m/x)=f(m)-f(x)把m换成x x换成y得证

千问 · 2005-10-29 21:51:39

解：∵y∈(0,+∞)∴1/y∈(0,+∞)∴f[x×(1/y)]+f(y)=f[x×(1/y)×y]=f(x)∴f(x/y)=f(x)-f(y)