（平面向量）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问向量PQ与向量BC的夹角取何值

显示全部楼层 · 2010-1-15 12:19:40

BP=BA+APCQ=CA+AQA是|PQ|中点，AP=-AQBP*CQ=(BA+AP)*(CA+AQ)
=BA*CA+AP*CA+BA*AQ+AP*AQ
=0+AP*CA+AP*AB-AP*AP
=AP*CB-AP*AP
=?*PQ*BC-|a2|PQ*BC取最大值时，BP*CQ有最大值PQ*BC=|PQ|*|BC|*cosθ=2a2cosθ θ=0时，PQ*BC最大值为2a2∴（BP*CQ）max=0

千问 · 2010-1-15 12:19:40

以下所有未加“||”皆表示向量BP=BA+APCQ=CA+AQA是|PQ|中点，AP=-AQBP*CQ=(BA+AP)*(CA+AQ)
=BA*CA+AP*CA+BA*AQ+AP*AQ
=0+AP*CA+AP*AB-AP*AP
=AP*CB-AP*AP
=?*PQ*BC-|a2|PQ*BC取最大值时，BP*CQ有最大值PQ*BC=|PQ|*|BC|*cosθ=2a2cosθ θ=0时，PQ*BC最大值为2a2∴（BP*CQ）max=0

千问 · 2010-1-15 12:19:40

解1：CQ=CA+AQBP=BA+AP且AP=-AQ设夹角为αBP*CQ=(BA+AP)*(CA+AQ)
=BA*CA+AP*CA+BA*AQ+AP*AQ
=0-AQ*CA+AQ*BA-a2
=AQ*（BA-CA）-a2
=AQ*BC-a2当AQ*BC取最大值时，BP*CQ有最大值AQ*BC=|AQ|*|BC|*cosα=a2cosα当α=0时，即PQ//BC时，且Q在上P在下，AQ*BC最大值为a2cos0=a2所以（BP*CQ）max=a2-a2=0解2.即 zqs626290 - 十二级的三角换元法和qiguijie - 五级对其的补充解3. 镜夜蓉 - 三级的解，跟我的类似，路径不同，呵呵

千问 · 2010-1-15 12:19:40

1 解：（1）以AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，且设A(0,0),B(b,0),C(0,c).(b^2+c^2=a^2).易知，点P,Q在以点A为圆心，a为半径的圆上，故可设P(acost,asint),Q(-acost,-asint).===>BP=(acost-b,asint),CQ=(-acost-c,-asint).===>BP*CQ=...=--a^2+a(csint-bcost)=-a^2+a^2*sin(t-k)=a^2*[sin(t-k)-1]≤0.===>(BP*CQ)max=0.(sink=b/a,cosk=c/a).易知，此时，PQ⊥BC.. 2 （1）以AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，且设A(0,0),B(b,0),C(0,c).(b^2+c^2=a^2).易知，点P,Q在以点A为圆心，a为半径的圆上，故可设P(acost,asint),Q(-acost,-asint).===>BP=(acost-b,asint),CQ=(-acost-c,-asint).===>BP*CQ=...=--a^2+a(csint-bcost)=-a^2+a^2*sin(t-k)=a^2*[sin(t-k)-1]≤0.===>(BP*CQ)max=0.(sink=b/a,cosk=c/a).易知，此时，PQ⊥BC.你可以证明向量BP、CQ的夹角大于等于90°，最大值为0

千问 · 2010-1-15 12:19:40

解：（1）以AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，且设A(0,0),B(b,0),C(0,c).(b^2+c^2=a^2).易知，点P,Q在以点A为圆心，a为半径的圆上，故可设P(acost,asint),Q(-acost,-asint).===>BP=(acost-b,asint),CQ=(-acost-c,-asint).===>BP*CQ=...=--a^2+a(csint-bcost)=-a^2+a^2*sin(t-k)=a^2*[sin(t-k)-1]≤0.===>(BP*CQ)max=0.(sink=b/a,cosk=c/a).易知，此时，PQ⊥BC..解：（1）以AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，且设A(0,0),B(b,0),C(0,c).(b^2+c^2=a^2).易知，点P,Q在以点A为圆心，a为半径的圆上，故可设P(acost,asint),Q(-acost,-asint).===>BP=(acost-b,asint),CQ=(-acost-c,-asint).===>BP*CQ=...=--a^2+a(csint-bcost)=-a^2+a^2*sin(t-k)=a^2*[sin(t-k)-1]≤0.===>(BP*CQ)max=0.(sink=b/a,cosk=c/a).向量BP=向量BA+向量AP向量CQ=向量CA+向量AQ原试=向量BP*向量CQ=向量BA*向量CA+向量BA*向量AQ+向量AP*向量CA+向量AP*向量AQ=向量BP*向量AQ+向量AP*向量CA因为向量AQ=-向量AP得向量AQ*（向量BP-向量CA）易知，此时，PQ⊥BC

千问 · 2010-1-15 12:19:40

CA+AQBP=BA+AP且AP=-AQ设夹角为αBP*CQ=(BA+AP)*(CA+AQ)
=BA*CA+AP*CA+BA*AQ+AP*AQ
=0-AQ*CA+AQ*BA-a2
=AQ*（BA-CA）-a2
=AQ*BC-a2当AQ*BC取最大值时，BP*CQ有最大值AQ*BC=|AQ|*|BC|*cosα=a2cosα当α=0时，即PQ//BC时，且Q在上P在下，AQ*BC最大值为a2cos0=a2所以（BP*CQ）max=a2-a2=0

千问 · 2010-1-15 12:19:40

对zqs626290 - 十二级的回答做一下补充：因为题中并没有规定BC的方向就是正方向，只是想求得两个向量乘积所得的标值的最大值，所以 a^2*[sin(t-k)-1]≤0.===>(BP*CQ)max=0，这句的讨论不符题意，这里应该令sin(t-k)=-1，可以得到向量BP*向量CQ的标值最大值为2a^2,而这时PQ与BC平行

千问 · 2010-1-15 12:19:40

向量BP=向量BA+向量AP向量CQ=向量CA+向量AQ原试=向量BP*向量CQ=向量BA*向量CA+向量BA*向量AQ+向量AP*向量CA+向量AP*向量AQ=向量BP*向量AQ+向量AP*向量CA因为向量AQ=-向量AP得向量AQ*（向量BP-向量CA）

千问 · 2010-1-15 12:19:40

0PQ和BC平行且PB、CQ对应不相交PQ与向量BC取-2a平方到2a平方。图还没啊，求败

千问 · 2010-1-15 12:19:40

http://zhidao.baidu.com/question/130738563.html