一道关于圆锥曲线的高中数学题

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0 | 2010-1-2 16:47:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

以下直接记向量OA为OA。其它向量也如此。设出椭圆标准方程（x/a)^2+(y/b)^2=1。显然直线L：y=x-c。与椭圆联立，得(x/a)^2+((x-c)/b)^2=1，两根为x1，x2.所以A（x1，x1-c），B（x2，x2-c），OA+OB=（x1+x2，x1+x2-2c)。因为它和n=（1，3）垂直，所以1*（x1+x2)+3*(x1+x2-2c)=0，所以2*（x1+x2）=3c。由根与系数的关系，x1+x2=2a^2*c/a^2+b^2，所以4c*a^2=3(a^2+b^2)c。所以a^2=3b^2，e=（根号6）/3。所以OM=（（m+n)x1+(m-n)x2，(m+n)(x1-c)+(m-n)(x2-c))=(m(x1+x2)+n(x1-x2)，m(x1+x2)+n(x1-x2)-2mc)。因为M在椭圆上，所以b^2*(m(x1+x2)+n(x1-x2))^2+a^2*(m(x1+x2)+n(x1-x2)-2mc)^2=(ab)^2。打开，整理，利用跟与系数的关系，得：m^2(4a^2*c^2-4c^3)+n^2*8a^4=b^2(a^2+b^2),椭圆

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