一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 命题“ R， ”的否定是▲．2． 若集合A= ，B= 满足A∪B=R，A∩B= ，则实数m=▲．3． 若 是纯虚数，则实数a的值是▲．4． 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是▲． 5． 若函数 （a为常数）在定义域上为奇函数，则k=▲．6． 若直线 和圆O： 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数为▲．7． 曲线C： 在x=0处的切线方程为
▲．8． 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是▲．9． 已知集合 ，集合 ，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率是▲．10．设实数 满足则 的取值范围是▲． 11．已知a，b为不共线的向量，设条件M： ；条件N：对一切 ，不等式 恒成立．则M是N的
▲条件．12．已知数列{an}中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(n>m)满足 ，则a119=▲．13．已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示，其中四边形 是边长为2cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积为▲cm2．14．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，3，5，7，…．当 时，剩余的一个数为▲．【填空题答案】1． R， ;
2．3;
3．1；
4．5；
5． ；6．2；
7．y=2x+3；
8．1.5；
9． ；
10．；11．充要；
12．－1；
13． ；
14．2．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c．向量m = , n= 满足m//n.（1）求 的取值范围；（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围. 【解】(1)因为m//n，所以 ，
………………2分因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得 .于是 .因为 . 故三角形ABC为直角三角形. …………5分 , 因为 ，所以 , 故 .
……………7分(2).
……………9分设 ，则 ，
…………… 11分 ，因为＜0，故 在（1， ]上单调递减函数. 所以.所以实数x的取值范围是 .
…………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD‖BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAB 平面PCD ，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.（1）【证明】因为∠ABC=90°，AD‖BC，所以AD⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB 平面ABCD=AB,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PA.
………………3分
同理可得AB⊥PA.
………………5分由于AB、AD 平面ABCD，且AB AD=C,所以PA⊥平面ABCD.
……………7分（2）【解】（方法一）不平行.
………………9分证明：假定直线l‖平面ABCD,由于l 平面PCD，且平面PCD 平面ABCD=CD,所以 ‖CD. ………… 11分同理可得l‖AB, 所以AB‖CD.
……………… 13分这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.
……………… 14分（方法二）因为梯形ABCD中AD‖BC,所以直线AB与直线CD相交，设AB CD=T.
………………… 11分由T CD，CD 平面PCD得T 平面PCD.同理T 平面PAB.
………………… 13分即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线 与平面ABCD不平行.
………………… 14分17．（本小题满分15分）设a为实数，已知函数 .（1）当a=1时，求函数 的极值．（2）若方程 =0有三个不等实数根，求a的取值范围．【解】(1)依题有 ，故 .
………2分由x02+ 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗………………………5分得 在 时取得极大值 ， 在 时取得极小值 .…………7分(2) 因为 ，
……………………9分所以方程 的两根为a－1和a+1，显然，函数 在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.
………… 11分因为方程 =0有三个不等实根，所以即解得 且 .故a的取值范围是 .
………………… 15分18．（本小题满分15分）如图，椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，且 . （1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为 ，MN的最小值为 ，求椭圆方程.【解】（1）设椭圆 的焦距为2c(c>0)，则其右准线方程为x＝ ，且F1(－c, 0), F2(c, 0). ……………2分设M ，则 ＝.
………………………4分因为 ，所以 ，即 .
于是 ，故∠MON为锐角.所以原点O在圆C外.
………………………7分
（2）因为椭圆的离心率为 ，所以a=2c，
…………………8分
于是M，且
…………………9分MN2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2 .………… 12分当且仅当 y1＝－y2＝ 或y2＝－y1＝ 时取“=”号， ……………… 13分所以(MN)min= 215c＝215，于是c=1, 从而a＝2，b＝3，故所求的椭圆方程是 .
………………… 15分19．（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij.1
4
7
10
13
…4
8
12
16
20
…7
12
17
22
27
…10
16
22
28
34
…13
20
27
34
41
…… … … …（1）证明：存在常数 ，对任意正整数i、j， 总是合数；（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列 . 试证不存在正整数k和m ，使得 成等比数列；（3）对于（2）中的数列 ，是否存在正整数p和r，使得 成等差数列．若存在，写出 的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由． （1）【证明】因为第一行数组成的数列{A1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A1 j＝1+(j－1)×3＝3 j－2，第二行数组成的数列{A2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，所以A2 j＝4+(j－1)×4＝4 j．
……………………2分所以A2 j－A1 j＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，所以第j列数组成的数列{ Aij}(i＝1,2，…)是以3 j－2为首项，公差为 j＋2的等差数列，所以Aij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4＝(i＋3) (j＋2) 8． …………5分故Aij＋8=(i＋3) (j＋2)是合数．所以当 ＝8时，对任意正整数i、j， 总是合数 …………………6分（2）【证明】(反证法)假设存在k、m， ，使得 成等比数列，即
………………………7分∵bn＝Ann ＝(n+2)2－4∴ 得 ，即 ， …………………10分又∵ ，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3， ∴ ，这与 ∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m ，使得 成等比数列．……………………12分（3）【解】假设存在满足条件的 ，那么 即 .
…………………… 14分不妨令得 所以存在 使得 成等差数列．
…………………… 16分（注：第（3）问中数组 不唯一，例如 也可以）20．（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”. （1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：①f(x)＝ x；
②g(x)＝sinx (x∈(0，π)). （2）若函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.（1）【答】f(x)＝ x是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.【证明】①f(x)＝ x是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，f(a)＝ a，f(b)＝ b，f(c)＝ c. 因为(a＋b)2＝a＋2ab＋b＞c＋2ab＞(c)2，所以a＋b＞c.同理可以证明：b＋c＞a，c＋a＞b. 所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ x是保三角形函数. ………………4分②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取 ，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin ＝1，sin ＝12，不能作为一个三角形的三边长. 所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.
………………………8分(2)【解】M的最小值为2.
…………………… 10分(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a，b，c∈〔M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，即lna＋lnb＞lnc.
同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数. …………………… 13分(ii)其次证明当0<M＜2时，h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))不是保三角形函数. 当0<M＜2时，取三个数M，M，M2∈〔M，＋∞)，因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数.
所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))不是保三角形函数. 综上所述：M的最小值为2.
………………… 16分附加题部分21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，PA切⊙O于点 ，D为 的中点，过点D引割线交⊙O于 、 两点．求证:．【证明】因为 与圆相切于 ，
所以 ，
………………………2分
因为D为PA中点，所以DP=DA， 所以DP2=DB?DC，即． ………………………5分因为 ， 所以 ∽ ，
………………………8分所以 ．
…………………… 10分B. 选修4－2：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点 变成了点 ，点 变成了点 ，求矩阵M.【解】设 ，
………………………2分则由 ， ，
……………………5分得
………………………8分所以
因此 .
…………………… 10分C. 选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2， )，半径R= ，求圆C的极坐标方程.解法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC= R= .
…………………4分由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－ )=5.
………………8分化简，得ρ2－4ρcos(θ－ )＋1=0，此即为所求的圆C的方程. ………10分解法二：将圆心C (2， )化成直角坐标为(1， )，半径R= ，
………………2分
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－ )2=5.
………………4分
再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2+(ρcosθ－ )2=5.
……6分
化简，得ρ2－4ρcos(θ－ )＋1=0 ，此即为所求的圆C的方程.
…………10分D. 选修4－5：不等式选讲已知 ，求证： .【证明】因为 ………………3分
………………………7分
所以 .
故 .
……… 10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示 .纪念币 A B C概率a a将这三个纪念币同时投掷一次, 设 表示出现正面向上的个数.（1）求 的分布列及数学期望；（2）在概率 (i=0，1，2，3)中, 若 的值最大, 求a的取值范围.【解】(1) 是 个正面向上, 个背面向上的概率.其中 的可能取值为0，1，2，3., , , .……4分 所以 的分布列为的数学期望为 .
…………5分(2), , .由 和 ，得 ,即a的取值范围是 . …………… 10分23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知 ．用数学归纳法证明： .【证明】（1）当n=2时，左边－右边＝ ，不等式成立. ………………………2分（2）假设当n=k（ ）时，不等式成立，即 .
……4分因为 ，所以 ，于是 .……………6分当n=k+1时，.即当n=k+1时，不等式也成立.
………9分综合（1），（2）知，对于 ，不等式 总成立.…………………… 10分 不好意思，只能复制来这些。( # ▽ # ) 这么辛苦，麻烦给点儿分，好吗？ |
