1/4这是一个几何概型。由于第一次跳所有方向完全对称，所以对于任何方向求得的概率应该相同，因此不必考虑第一步，只需考虑第二、三步。以出发点为原点，出发点到第一步所达点的向量作为x轴单位向量建立平面直角坐标系，则第一步所达点的坐标为(1,0)。设第二步向由x轴逆时针旋转x弧度(0≤x＜2π)的方向跳出，第三步向x轴逆时针旋转y弧度(0≤y＜2π)的方向跳出，则第二步所达点的坐标为(1+cosx,sinx)，第三步所达点的坐标为(1+cosx+cosy,sinx+siny)要使青蛙跳完后离它的出发点不超过一米，应有(1+cosx+cosy)2+(sinx+siny)2≤1，即（以下是化简过程）：1+2(cosx+cosy)+(cosx+cosy)2+(sinx+siny)2≤11+2(cosx+cosy)+2(cosxcosy+sinxsiny)+2≤1cosx+cosy+cos(x-y)+1≤02cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]+2cos2[(x-y)/2]≤02cos[(x-y)/2](cos[(x+y)/2]+cos[(x-y)/2])≤0cos[(x-y)/2]cos(x/2)cos(y/2)≤0因为0≤x＜2π，0≤y＜2π，所以0≤x/2,y/2＜π,-π≤(x-y)/2＜π于是……（以下的化简过程应该比较简单了，但是电脑上打出来有点累，就从略了）最后由x,y的不等关系在平面直角坐标系（这是另一个坐标系，不是先前建立的那个）中得到的区域的面积为π2,而全集{(x,y)|0≤x＜2π,0≤y＜2π},面积为4π2所以概率p=1/4
|
