一道奥赛题，做出来的加分。

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0 | 2007-11-18 17:12:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

答：用三角形的三边a、b、c来表示它的三条中线长如下： AD=1/2√(2b2+2c2-a2) BE=1/2√(2c2+2a2-b2) CF=1/2√(2a2+2b2-c2) 借助余弦定理可以证出。只证Ma，其余证法相同。取BC的中点D，连接AD，在△ABD中，BD=a/2，由余弦定理得 AD2=AB2+BD2-2AB*BDcosB =c2+a2/4-2*c*a/2*cosB .................................① 在△ABC中，有：b2=c2+a2-2ac*cosB，变形为 cosB=(c2+a2-b2)/2ca...................................② 将②代入①式，得 AD2=c2+a2/4-2*c*a/2*(c2+a2-b2)/2ca =c2+a2/4-(c2+a2-b2)/2 =(4c2+a2)/4-(2c2+2a2-2b2)/4 =(2b2+2c2-a2)/4 所以AD=1/2*√(2b2+2c2-a2)。所以： AD2+BE2+CF2 =(2b2+2c2-a2)/4 +(2c2+2a2-b2)/4+(2a2+2b2-c2)/4 =3(a2+b2+c2)/4 附：余弦定理：设三角形的三边为a b c，各对角分别为A、B、C，则 a2=b2+c2-2bc*cosA b2=c2+a2-2ac*cosB c2=a2+b2-2ab*cosC

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