数列问题

显示全部楼层 · 2010-2-1 19:50:24

已知：点列An（Xn，0），n属于N+，其中x1=0，x2=a（a》0）；x3是x1和x2的中点，x4是x2和x3中点……，xn是xn-1和xn-2中点。求（An）的通向公式。其中An=xn+1 - xn 解：由已知知道xn=（xn-1+xn-2）/2 其中n >=3
x1=0
x2=a
x3=(x1+x2)/2
x4=(x2+x3)/2
……
xn=(xn-2+xn-1)/2
上面n个式子相加得到：
x1+x2+x3+……+xn=0+a+(x1+x2)/2+(x2+x3)/2+……+(xn-2+xn-1)/2
简化为：
x1+x2+x3+……+xn=0+a+ x1/2+x2+x3+……+xn-2+ xn-1/2
左右抵消中间项得到：
x1+xn-1+xn=a+x1/2+xn-1/2
xn=a-xn-1/2
n >=3
变形为：xn-2a/3=-(x(n-1)-2a/3)/2
令bn=xn-2a/3
则b1=-2a/3
b2=a/3
bn=-bn-1/2,公比为q=-1/2
因此bn=b1*q^(n-1)
即：bn=（-1）^n*a/[3*2^(n-2)]
也就是说xn-2a/3=（-1）^n*a/[3*2^(n-2)]
故xn=2a/3+（-1）^n*a/[3*2^(n-2)]
综上：
An=xn+1 - xn
=（2a/3+（-1）^（n+1）*a/[3*2^(n-1)]）-（2a/3+（-1）^n*a/[3*2^(n-2)]）
=-（-1）^n*a/[3*2^(n-2)]/2-（-1）^n*a/[3*2^(n-2)]
=-（-1）^n*a/[3*2^(n-2)]*(1/2+1)
=-（-1）^n*a/2^(n-1)
=（-1）^(n-1)*a/2^(n-1)
=(-1/2)^(n-1)a

千问 · 2010-2-1 19:50:24

解：x1=0,x2=a.由题设，x3=(x1+x2)/2=a/2.x4=(x2+x3)/2=(3a)/4....2xn=x(n-1)+x(n-2)....由该数列的二阶特征方程，求得特征根1和-1/2.得通项xn=4a[(1/2)+(-1/2)^n]/3.(n=1,2,3,,,,).

千问 · 2010-2-1 19:50:24

已知：点列An（Xn，0），n属于N+，其中x1=0，x2=a（a》0）；x3是x1和x2的中点，x4是x2和x3中点……，xn是xn-1和xn-2中点。求（An）的通向公式。其中An=xn+1 - xn
我是数学老师不会错的