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若X^5+2X^3+1=a0+a1(X-1)+a2*(X-1)^2+...+a5(X-1)^5对任意实数X都成立，则a3=?

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3 | 2010-1-28 15:42:15 | 显示全部楼层 |阅读模式

显然a5=1, a4=0所以:a5(x-1)^5+a4(x-1)^4+a3(x-1)^3=(x-1)^5+a^3(x-1)^3这其中的x^3的系数=a3+C(5,3)=a^3+10所以:a3+10=2a3=-8

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千问 | 2010-1-28 15:42:15 | 显示全部楼层

你先将x取值为1，那么等式左右两边就变为：1+2+1=a0+0+0+0+0+0，所以a0=4，你再将x取值为0，那么等式又变成：0+0+1=a0-a1+a2-a3+a4-a5，即：1=4-a1+a2-a3+a4-a5，那么a1-a2+a3-a4+a5=3，列为式子（1），你再将x取值为2，那么等式就变成：32+16+1=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即：49=4+a1+a2+a3+a4+a5，那么a1+a2+a3+a4+a5=45，列为式子（2），你将式子（1）与式子（2）相加再除以2，可得：a1+a3+a5=24，而x的5次方的系数为a5,与等式左边对应系数比较可得：a5=1，那么a1+a3=23.后面的你自己找着同样的道理继续算就可以得到a3的值了！

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千问 | 2010-1-28 15:42:15 | 显示全部楼层

对左边x^5的系数是1，x^3系数是2,x^4系数是0所以对右边来说，x^5系数是a5，所以a5=1根据杨辉三角，对（x-1）^5, x^4 的系数是-5，x3系数是10然后对a4（x-1）^4, x^4 的系数是a4，x3系数是 -6a4对a3（x-1）^3, x^3 的系数是a3所以有 -5+a4=0； 10-6a4+a3=0可以算出a4=5，a3=20

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千问 | 2010-1-28 15:42:15 | 显示全部楼层

解析：由题意令x=t+1，那么：(t+1)^5+2*(t+1)3+1=a0+a1*t+a2*t2+a3*t3+a4*t^4+a5*t^5则易知a3就是(t+1)^5+2*(t+1)3+1中含t3的系数而二项展开式(t+1)^5中含t3的项为C(5,2)*t3=10t3，(t+1)3中含t3的项为t3，即2*(t+1)3中含t3的项为2t3所以可知(t+1)^5+2*(t+1)3+1中含t3的项为10t3+2t3=12t3得(t+1)^5+2*(t+1)3+1中含t3的系数为12，即a3=12

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