海交通大学概率论与数理统计复习题(A) 04-12 选择题 (1)设,且与为对立事件,则不成立的是 . (a)与互不相容;(b)与相互独立; (c)与互不独立;(d)与互不相容 (2)10个球中有3个红球,7个白球,随机地分给10个人,每人一球,则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 . (a);(b);(c);(d) (3)设~,概率密度为,则有 . (a);(b); (c);(d) (4)若随机变量,的均存在,且, ,则有 . (a),一定独立;(b),一定不相关; (c);(d) (5)样本取自正态分布总体,已知,但未知,则下列随机变量中不能作为统计量的是 . (a);(b); (c);(d) (6)假设随机变量的密度函数为即~,且,均存在.另设取自的一个样本以及是样本均值,则有 . (a)~;(b)~; (c)~;(d)()~ (7)每次试验成功率为,进行重复独立试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为 .选择下列正确的答案. (a);(b); (c);(d) (8)设,则有 . (a);(b); (c);(d) (9)设为独立随机变量序列,且服从参数为的指数分布,则下列选项正确的是 . (a);(b); (c);(d) (10)判断下列 结论不正确. (a)正态随机变量的线性函数仍服从正态分布; (b)若~,则关于,关于的边缘仍为正态分布; (c)若,服从正态分布,则服从正态分布; (d)若~,则与不相关和与相互独立等价 填空题 1.设总体,已知D(2X-Y)=1, 则 =________ . 2.设工厂甲和工厂乙的产品的次品率分别为1%和2%,现从甲,乙的产品分别占60%和40%的一批产品中随机取一件,发现是次品,则该次品属于甲厂生产的概率 . 3.设随机变量在(0,2)上服从均匀分布,则在(0,4)内的密度 = . 4.已知,则的= . 5.设,则= ,= . 6.设,则= , = . 7.已知随机事件的概率0.5,随机事件的概率0.6,条件概率=0.8,则事件的概率 . 在三次独立试验中,随机事件在每次试验中出现的概率为0.4,则至少出现一次的概率为 . 设随机变量相互独立,且,,则随机变量的方差= . 10.设随机变量的可能取值为-1和1,已知,则= . 11.已知,求= . 12.设,且相互独立,则至少出现一个的概率为 ,恰好出现一个的概率为 . 13.设随机变量服从分布,已知=1.6,=1.28,则参数= , = . 14.设的联合分布律如下表,则= . 1 2 3 -1 0 1/15 3/15 0 2/15 5/15 4/15 15.设随机变量服从参数为2的泊松分布,用切比雪夫不等式估计 . 16.设是来自正态分布的样本, 当= 时, 服从分布,= . 三,计算题 1.设与为常数,证明:. 2.设()的密度为,求,. 3.设与是两个独立的随机变量,其概率密度分别为 , 求:的概率密度. 4.在某年举办高考中,已知某科目的考生成绩,及格率为25%,80分以上的为3%,求此科目考生的平均成绩及标准差. 5.设随机变量服从的指数分布,证明在区间(0,1)服从均匀分布. 6.设随机变量的概率密度为,求随机变量的分布函数,并画出的图形. 7.某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率是0.05,求 (1)任取一箱从中任取一个废品的概率; (2)若将所有产品开箱混装,求任取一个为废品的概率. 8.已知10只晶体管中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率: 两只都是正品;(2)两只都是次品;(3)一只是正品,一只是次品; (4)第二次取出的是次品 9.有不同的数学参考书6本,不同的物理参考书4本,不同的化学参考书3本,试求从中取出2本不同学科的参考书的概率. 10. 甲,乙,丙3位同学同时独立参加外语考试,不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5, (1) 求恰有两位同学不及格的概率; (2) 如果已经知道这3位同学中有2位不及格,求其中一位是乙同学的概率. 11.设随机变量有,求: (1)(2) 12.设随机变量在[2,5]上服从均匀分布,现对进行三次独立观察, 求对的观察值大于3的概率; 设随机变量表示对进行三次独立观察中观察值大于3的次数,求 设有两箱同种零件,第一箱内装有50件,其中10件为一等品,第二箱装30件,其中18件为一等品,现从两箱中任取一箱,并从中挑选出的一箱中先后取出二个零件(取后不放回),求: 先取出的零件是一等品的概率; 在先取出的零件是一等品的条件下,后取出的也是一等品的概率 设随机变量()的联合密度函数为, 求 15.设某一复杂的系统由个相互独立的部件组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为, 并且必须至少有的部件工作, 才能使整个系统正常工作. 问至少为多少时才能使系统的可靠性不低于 16.已知随机变量的概率密度为 , 设是来自的一个样本, 求的矩估计量(4分)和极大似然估计量. 17.设随机变量在区间上服从均匀分布其中未知, 并设是来自的一个样本,则的极大似然估计量为. 试确定使得为的无偏估计. 18.(1)从理论上分析得出结论:压缩机的冷却用水, 其温度升高的平均值不多于. 现测量了台压缩机的冷却用水的升高温度分别是: 问在=时, 这组数据与理论上分析所得出的结论是否一致 (2)已知纤维的纤度. 现抽取了根纤维,测得纤度为 问纤度的总体方差是否正常(取=) 19.电视台作某节目收视率的调查,在每天该节目播出时随机地向当地居民打电话询问是否在看电视,若在看电视,则再询问是否在看该电视节目.设回答在看电视的居民户数为n求:为保证以95%的概率使调查误差在1%之内,n应取多大 20.某厂生产的电池,其寿命长期以来服从方差(小时平方)的正态分布.今有一批这种电池,为判断其寿命的波动性是否较以往有所变化,随机抽取一个容量n=26的样本,测得其寿命的样本方差(小时),求在下这批电池寿命的波动性是否较以往有显著变化 上海交通大学概率论与数理统计复习题(B) 04-12 是非题 1.设,,为随机事件,则与是互不相容的. ( ) 2.是正态随机变量的分布函数,则. ( ) 3.若随机变量与独立,它们取1与的概率均为,则. ( ) 4.等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. ( ) 5. 样本均值的平方不是总体期望平方的无偏估计. ( ) 6.在给定的置信度1-下,被估参数的置信区间不一定惟一. ( ) 7.在参数的假设检验中,拒绝域的形式是根据备择假设而确定的. ( ) 选择题 (1)设,则下面正确的等式是 . (a); (b); (c); (d) (2)离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是 . (a)且; (b)且; (c)且; (d)且. (3)设个电子管的寿命()独立同分布,且(),则个电子管的平均寿命的方差 . (a); (b); (c); (d). (4)设为总体的一个样本,为样本均值,为样本方差,则有 . (a); (b); (c); (d). (5)设为总体的一个样本,为样本均值,则在总体方差 的下列估计量中,为无偏估计量的是 . (a); (b); (c); (d). 填空题 (1)设随机事件,互不相容,且,,则 . (2)设随机变量服从(-2,2)上的均匀分布,则随机变量的概率密度函数 为 . (3)设随机变量,则概率= . (4)设随机变量的联合分布律为 若,则 . (5)设()是来自正态分布的样本, 当= 时, 服从分布,= . (6)设某种清漆干燥时间(单位:小时),取的样本,得样本均值和方差分别为,则的置信度为95%的单侧置信区间上限为: . 计算与应用题 1. 某厂卡车运送防"非典"用品下乡,顶层装10个纸箱,其中5箱民用口罩,2箱医用口罩,3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱,不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩,求丢失的一箱也是民用口罩的概率. 2. 设随机变量的联合密度函数 求 (1) 常数A ; (2) 条件密度函数; (3) 讨论与的相关性和独立性. 3.设随机变量(均匀分布),(指数分布),且它们相互独立, 试求的密度函数. 4.某彩电公司每月生产20万台背投彩电,次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率. 5.设总体的概率分布列为: 0 1 2 3 p2 2 p(1-p) p2 1-2p 其中 () 是未知参数. 利用总体的如下样本值: 1, 3, 0, 2, 3, 3, 1, 3 求 (1) p的矩估计值; (2) p的极大似然估计值 . 6.某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验,结果分别为 12690C 12710C 12630C 12650C 设数据服从正态分布,以 % 的水平作如下检验: (1) 这些结果是否符合于公布的数字12600C (2) 测定值的标准差是否不超过20C 须详细写出检验过程. 7.设(X,Y)的联合分布律为 X Y 0 1 2 -1 1/6 0 0 0 0 1/3 1/3 1 1/12 1/12 0 求cov(X,Y), , 及(X,Y)的协方差矩阵. 8.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数 求Z=max{X,Y}的密度函数. 证明题 设随机变量与相互独立,且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布,证明仍服从泊松分布,参数为6. 概率论与数理统计复习题 (打*题概率统计B可以不做) 填空 1. 设随机试验E对应的样本空间为S. 与其任何事件不相容的事件为 , 而与其任何事件相互独立的事件为 ;设有P(A|B)=1, 则A,B两事件的关系为 ;设E为等可能型试验,且S包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 . 附1..若与独立,则 ;若已知中至少有一个事件发生的概率为,则 . 2.且,则 . 3.设,且,则 ; . 4.设(连续)随机变量 (X,Y)的联合分布函数为 求概率P{max(X,Y)<1}= . 5.某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖2元,假设中一,二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元.是否买此彩票的明智选择为: (买,不买或无所谓). 6..若服从泊松分布,则 ;若服从均匀分布,则 . 7.设,则 ,并简化计算 . (附7:设某人的投篮命中率为p,其独立地投了若干次篮,则在第二次投中的条件下在此之前未投中n次的概率为 ). 8.则 . 9.,且与独立,则 (用表示), . 10.将一硬币抛次,分别用与表示其中正面和反面朝上的次数,则 . 11.已知的期望为5,而均方差为2,估计 .另设,试估计 _____. 12.设则由大数定理(或频率的稳定性)知, .现有位学生相互独立地做实验,各自的实验误差均服从的均匀分布,结果发现其中恰好有100位学生的实验误差小于,用上面的大数定理近似计算 . 13.某班上有100位学生各有一部手机,上课时都开机.假设每部手机上课时间内收到电话的次数都服从平均次数为1的泊松分布(各人间相互独立),用中心极限定理近似计算上课时不会有电话干扰的概率为 ,该近似计算的(绝对)误差为 . 14.设且与独立.则的概率分布为 ; ; ; ,且= . 15. 矩估计法估计总体未知参数的概率原理是 . 16.设总体的分布律为,其中未知,现有一样本值:.求实际中能观察到该样本值的概率 ,用最大似然法估计参数的概率原理是 . 17.设和均是未知参数的无偏估计量,且,则其中的统计量 更有效. 18.在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信水平愈 愈好,而置信区间的长度愈 愈好.但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是 . 19.设总体,已知,若用常规的区间估计法,即,得到在置信水平下的置信区间为.则在显著性水平下用常规的检验法 (接受,拒绝,无法判断)原假设【并由此判断在显著性水平下 (接受,拒绝,无法判断)H0】.一般地,因为参数假设检验的概率原理是 ,故往往会犯错,对上面具体的参数检验问题犯第I类错误,即弃真错误的概率为 .一般的参数假设检验中,固定显著性水平但增大样本容量,则犯第II类错误,即纳伪错误的概率一般会 (增加,减小,不变,无法确定). 二.从甲地到乙地用货车运电脑,每次运10台.每次运输中有三种不同的损坏情况:a). 每次恰好1台电脑被损坏, b). 每次恰有2台电脑损坏,c). 每次恰有3台电脑被损坏,并且发生a), b), c) 三种损坏情况的概率分别为0.5,0.3,和0.2.现今有10台电脑运到,从中任取三件,发现恰有1台电脑被损坏.试分析这批电脑最有可能属于那种损坏情况. 附二*:现有n+1个相同的盒子,每盒装有n只球,每盒的装球情况如下:第i个盒子装i-1个白球和n+1-i个黑球,i=1, 2, …, n+1.现随机取一盒,从中依次摸球(每次摸一只并不放回),求在摸得第一只球为白球的条件下,第二次也在该盒中摸得白球的概率. 三. 设X 的概率密度为且E(X)=.(1)求常数k和c;(2) 求X的分布函数F(x);(3) 求X的m阶原点矩E(Xm);(4) 设随机变量Y定义如下: 求D(Y);(5)*令Z=F(X),求Z的概率密度. 四. 设X的分布函数为,且E(X)=, , ,而Y只可能取两个值.求 (1) 二维随机变量(X,Y)的联合概率分布律;(2) ,并以此判断X与Y是否独立;(3) 在X=1的条件下Y的条件分布律;(4)N=min(X,Y)的分布律. 五. 设(X,Y)的概率密度.求 (1)常数k;(2)X与Y是否独立;(3);(4);(5);(6)事件{"X3" 或 "Y<1"}的概率. (注: 由此思考条件概率的定义所存在的问题) 六. 某人寿保险公司每年有10000人投保,每人每年付12元的保费,如果该年内投保人死亡,保险公司应付1000元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为0.006.用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率(答案用表示,要求用中心极限定理的两个版本求解). 七. 设某计算机用来产生某彩票摇奖时所需的10个随机数0,1,2, …, 9.设某人用该机做了100天试验,每天都是第一次摇到数字1为止.此100天中各天的试验次数分布如下: 试验次数 2 9 10 11 12 14 26 相应天数 5 20 30 20 10 10 15 假设每次试验相互独立且产生数字1的概率p保持不变.(1)求p的最大然估计值;(2)如果所得,请做出所有可能的解释;(3)求p的矩估计值. 附七:设总体X的概率密度其中c和为未知参数,为样本值.求c和的最大似然估计值. 八. 设某球星在NBA中每场得分～.现统计其14个赛季的每场平均得分,相应的样本标准差s=3.58.而这14个赛季中该球员的比赛场次分布如下 比赛场次数 18 20 23 25 相应赛季数 5 6 2 1 通过上列统计数据求:(1)总体方差的一个无偏估计值;(2)总体方差的置信水平为0.95的一个置信区间. (已知) 九. 设某元件的寿命(小时)～,过去该产品的平均寿命为190小时,现改进生产设备后测得16只新元件的平均寿命为小时,相应的样本标准差s=98.在显著性水平0.05下检验改进生产设备后的产品是否好于过去(要求保证犯下列错误的概率不超过0.05:实际上改进后好于过去但却做出了相反的判断). (已知) 【思考:如果没有括弧中的要求,此题会怎么样.】 附九:现有两种测量物体长度的仪器A和B, 现用两仪器测量9只长短不一的粉笔,得到如下数据: 粉笔只数标号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A测得的数据 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 B测得的数据 0.11 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89 如果两仪器的精良程度一致,那么测同一粉笔所引起的误差完全是随机的,故该误差应该在零附近波动,所以可认为这样的随机误差服从均值为零的正态分布.现根据上面的测量结果能否在显著性水平0.01下判断A和B的精良程度显著不同. (已知) 十*. 每天早晨甲同学都看到乙同学在球场上练习投篮,甲同学记录了乙同学100天的投篮次数分布如下: 投篮次数 1 2 3 相应天数 54 42 4 在显著性水平0.05下检验乙同学是否每天直到第一次投中后才停止投篮(假设每次投篮完全相同且独立).(已知) 提示与要求:(1)设乙同学的投篮命中率为p, 由此写出分布律假设;(2)求p的最大似然估计值;(3)用分布拟合法检验假设,要求把总体的取值分成三个子集:"X=1","X=2","X=3"和"X4". 【思考:如果不规定将总体的取值分成那样的四个子集,此题结果如何.】 思考题:抛硬币试验,观察正(H),反(T)面出现的情况.定义P(H)=2/3, P(T)=1/3,P(H或T)=1,按概率的定义问它是否定义了该样本空间上的一个概率. 由此思考概率的抽象定义所存在的问题. 出题者申明: 该复习题中一部分参考了上海大学概率统计的考试题,特别是那些不严格甚至错的考试题. 该复习题中的某些题为出题人所创. 鉴于上述原因,请各位不要任意公开或转载此套复习题,以免引起不必要的麻烦,但欢迎讨论. 出题人:黄德斌博士(上海大学数学系)
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