平面几何超级难题，求高手来证

显示全部楼层 · 2010-2-10 11:17:49

斯坦纳—雷米欧斯定理此定理在700年前提出，300年前获证方法很多：解析几何法正弦定理法（又称三角法）（最佳）夹逼法向量法还有就是我自创的（解析三角法）：因为DC=BE所以DC/BC=BE/BC即SinB/Sin(B+C/2)=SinC/Sin(C+B/2)解此方程得角B=角C即AB=AC另外说一点：此题特殊，反证法证明更难

千问 · 2010-2-10 11:17:49

设BE和CF的交点Q过Q分别向AB,AC与BC作垂线垂足依次设为G,H,I(顺序别搞错）由角平分上的点到角两边距离相等可知G Q = I Q,H Q = I QC Q=H Q(等量代换）于是RtAGQ与RtAHQ全等（H.L)因为RtAIB与AGQ相似（一个直角加个公共角）同理AIC和AHQ也相似所以角ABC=角ACB所以AB=AC。

千问 · 2010-2-10 11:17:49

证明：
过E作EP平行FC交BC的延长线于P
有四边形FCPE为平行四边形
因此有∠P=∠BCF，FC=EP
又因为BE=CF
所以有BE=EP
又因为等边对等角
所以有∠EBC=∠p
即∠EBC=∠FCB
又因为BE为∠B的平分线，CF为∠C的平分线
所以有∠ABC=∠ACB
即AB=AC

千问 · 2010-2-10 11:17:49

用到字母ABCEF，缺D，这是暗示需做AD这条平分∠A的辅助线！从3条角平分线的交点（三角形的内心）向3边做垂线，将整个三角形分成6个直角三角形，然后设法证明顶角包含B、C的4个三角形全等，可得∠B=∠C，即AB=AC