数学分析: 为何提出"开覆盖定理"而不是"闭覆盖定理"?

显示全部楼层 · 2020-4-3 14:23:04

对于闭区间套定理，只要证明区间左端点序列是基本序列即可对于有限开覆盖定理，用反证法加二分法，构造一列闭区间套，使得其中的每个都不能被有限开覆盖，然后证明区间的左左端点序列是基本序列，再取一个开区间覆盖其极限即可得矛盾

千问 · 2020-4-3 14:23:04

不能换成闭覆盖,开覆盖定理对应泛函分析中的紧性.其中关键的一点区别是开集(开区间)是包含内点的,而闭集(闭区间)不一定.这里说的闭区间包括单点集.举一个反例就是[2,3]可以被[2,3]上的实数单点集(全是闭集)覆盖,但不存在有限个闭集覆盖[2,3]

千问 · 2020-4-3 14:23:04

应该也可以，例如[2,3]可用一系列开集(2-1/n,3+1/n)覆盖,则可以找到有限覆盖当然[2-1/n,3+1/n]也可以，不过既然有更小范围的，就没有必要用大的了

千问 · 2020-4-3 14:23:04

是勒贝格有限覆盖定理么？如果一个闭集被一个开集族覆盖则一定可以被有限覆盖如果是闭区间组则命题不成立考虑区间[1,2]以及集族[Sn,Sn+1] &[2,3]（n∈N）其中Sn=∑（2^(-k)）(0<=k<=n)，则显然该集族可覆盖但不可有限覆盖[1,2]. 事实上有1覆盖一个闭集的闭集族不必包含此闭集的有限子覆盖。2覆盖一个开集的开集族不必包含此开集的有限子覆盖。3覆盖一个开集的闭集族不必包含此开集的有限子覆盖。以上的反例都很易得到。