|
在三角形ABC中，已知A（x1,y1）、B(x2,y2)的坐标和BC、AC的长度分别设为a和b,求C.【请注意：为了和传统的三角形参数设置保持一致，我把a、b的对应边进行了更换：“BC、AC的长度分别设为a和b”，反正是人为设定的条件，可以这样设，也可以那样设，不影响求解结果。】在三角形ABC中，已知A（x1,y1）、B(x2,y2)的坐标和BC、AC的长度分别设为a和b,向量AB=(x2-x1,y2-y1),|向量AB|=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2],这样，三角形ABC的三边都已经已知，于是，角A、B是可求的：conA=[a^2-b^2-|向量AB|^2]/[2b|AB|]=[a^2-b^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2b√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2],A=arccon{[a^2-b^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2b√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]},conB=[b^2-a^2-|向量AB|^2]/[2a|AB|]=[b^2-a^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2a√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2],B=arccon{[b^2-a^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2a√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]},设C点的坐标是(x,y),则向量BC和向量AC分别有如下的等量关系：|向量BC|^2=a^2=(x-x2)^2+(y-y2)^2=b^2+(x2-x1)^2+(y2-y1)^2-2b√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2],|向量AC|^2=b^2=(x-x1)^2+(y-y1)^2=a^2+(x2-x1)^2+(y2-y1)^2-2a√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2],上面两个方程是关于x,y的二元二次方程，也是可解方程组，可以解出x,y。余弦公式会出现平方，不如使用正弦公式：a/sinA=b/sinB,|向量AB|/sinC=a/sinA=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]/sin(A+B),即：√[(x-x2)^2+(y-y2)^2]/sinarccon{[a^2-b^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2b√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]}=√[(x-x1)^2+(y-y1)^2]/sinarccon{[b^2-a^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2a√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]},√[(x-x2)^2+(y-y2)^2]/sinarccon{[a^2-b^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2b√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]}=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]/sin{arccon{[a^2-b^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2b√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]}+arccon{[b^2-a^2-(x2-x1)^2-(y2-y1)^2]/[2a√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]}},哈！也还是出现平方开方的！联立两个方程，可以解得x,y. |
