已知p的平方与m的平方和为n的平方，其中p为质数m，n为自然数。求证2(p+m+1)是完全平方数。

显示全部楼层 · 2008-5-23 19:01:11

稍微修改一下楼上的首先题有点小问题，因为自然数包括0，那么如果p=2,m=0,n=2的话，则2(p+1+m)=6不是完全平方数所以m不等于0，所以m>=1,进而才有m+n>m-np^2+m^2=n^2p^2=n^2-m^2=(n+m)(n-m)p为质数 n+m=p^2,n-m=1 m=(p^2-1)/2 2(p+m+1) =2p+p^2-1+2 =p^2+2p+1 =(p+1)^2 为完全平方数

千问 · 2008-5-23 19:01:11

p^2+m^2=n^2=>p^2=n^2-m^2=(n+m)(n-m)p为素数=>p^2的因子有且只有1,p,p^2也就是说p^2可以表示为p*p或1*p^2但n+m不等于n-m=>只可能是n+m=p^2 n-m=1=>n=p^2-m
m=n-1=>m=p^2-m-1=>2m=p^2-1=>2(p+m+1)=2p+2m+2=2p+p^2-1+2=(p+1)^2是平方数

千问 · 2008-5-23 19:01:11

楼上正解。利用了质数的性质，这个是解题的关键。