关于一元函数定积分的证明题已知f(x)在闭区间[a,b]连续,求证在[a,b]存在一点c,使得f(x)从a到c的定积分,等

显示全部楼层 · 2011-1-19 08:06:30

关于一元函数定积分的证明题已知f(x)在闭区间[a,b]连续,求证在[a,b]存在一点c,使得f(x)从a到c的定积分,等于f(x) 从c到b的定积分。
能在哪本参考书上找到这道题目啊？
若题设所给的区间是开区间的时候，结论就不一定成立了，那么能否举个反例呢？

千问 · 2011-1-19 08:06:30

g(x)=∫(a~x)f(t)dt-∫(x~b)f(t)dt，显然g(x)在[ a,b ]连续g(a)=-∫(a~b)f(t)dt，g(b)=∫(a~b)f(t)dt，(1)若∫(a~b)f(t)dt=0，则可取c=a或c=b(2)若∫(a~b)f(t)dt≠0，则g(a)g(b)<0，又g(x)在[ a,b ]连续，于是必定存在c∈(a,b)，使得g(c)=0即∫(a~c)f(t)dt=∫(c~b)f(t)dt综上所述，结论成立。若改写成开区间，则结论未必成立。反例：y=sinx显然在[ 0,2π ]连续，但是在(0,2π)内却找不到c使得结论成立。

关于一元函数定积分的证明题已知f(x)在闭区间[a,b]连续,求证 在[a,b]存在一点c,使得f(x)从a到c的定积分,等

关于一元函数定积分的证明题已知f(x)在闭区间[a,b]连续,求证在[a,b]存在一点c,使得f(x)从a到c的定积分,等