一道数学题

显示全部楼层 · 2010-8-4 17:32:32

求证当f(x)为连续的偶函数时，F(x)=∫x f(x)dx为奇函数。（上限x下限0）

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会有些代换-x t t=-u
F(-x)=∫-x f(t)dt （下限0先忽略）
当t=-u时，=∫x f(-u)du
又由于偶函数 =-∫x f(u)du
请具体给我说下其中的符号转变。当t=-u时，是怎么样=∫x f(-u)du？
dt=-du?，上限那个x都是怎么变化的？
另外上限-X怎么能变成X的？
好像是只要证明F(-x)= -F(x) 即可。下限0就不计了。红色X是上限
F(-x)= ∫-xf(t)dt
（让t=-u时），=∫xf(-u)du
(f(-u) =f(u), = - ∫xf(u)du = - ∫xf(x)dx

千问 · 2010-8-4 17:32:32

t=-u时，dt=d(-u)=-du,f(t)=f(-u)=f(u)（f(x)为连续偶函数）,另外，积分上限下限交换位置的话（即上限变成下限，下限变成上限），得在积分号前提一个负号出来。但是注意不能把上限中的负号提到积分式子前。