f(x+f(x))=x,f(x)=?

显示全部楼层 · 2010-8-8 19:43:20

f(x+f(x))=x,f(x)=?

千问 · 2010-8-8 19:43:20

不说啥严重佩服lodos 他说的非常正确我只考虑了连续可导的情况有欠周全他是正解答案也可能是这种不连续的情况这是前两种简单的情况首先设 ,f(x)反函数g(x) 先证 g'(x)=1/f'(x)y=f(x) 故 g(y)=x y'=f'(x) 对g(y)=x两边求导得g'(y)y'=1 故g'(x)=1/f'(x)得证现有f(x+f(x))=x 即 x+f(x)=g(x) 两边求导得1+f'(x)=1/f'(x) （只需满足此式的函数均成立，但我这里只考虑了分别为两个解的情况其实可以“复合”起来就是楼上的“怪”解）可解得f'(x)=-（√5+1）/2or （√5-1）/2故y= -（√5+1

千问 · 2010-8-8 19:43:20

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千问 · 2010-8-8 19:43:20

这题没写全吧？可能会有一些“怪”解：令a=(√5-1)/2，S是全体形如ap+q（p、q是有理数）的实数所组成的集合。定义如下的函数f：f(x)= ax（若x属于S）；-x/a（若x不属于S）于是当x属于S时，令x=ap+q，则利用关系a^2+a=1，f(x+f(x)) = f(ap+q + a^2p+aq) = f(p+q+aq

千问 · 2010-8-8 19:43:20

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