The inspector began to look for fingerprints, while the constable checked that the front door locks had not been forced, 【thereby proving that the burglars had either used skeleton keys or entered over the balcony】.
我对句子的理解：因为动名词不能作状语，所以 proving that ... 是现在分词短语作结果状语，修饰 while 引导的时间状语从句，就是说是主句的状语的状语。理解起来好像有点奇怪。
副词 thereby 修饰现在分词 proving。
副词 thereby 在词典中的解释是：adv formal
with the result that something else happens
thereby doing sth
He became a citizen in 1978, thereby gaining the right to vote.
请您指正这样理解有什么不对的地方吗？
你理解得没错。楼上理解错了。虽然从语法上说while引导的是个时间状语从句，实际上while更像个连词，表示两句话描述的事情是同时发生的。proving是分词短语作第二句的状语。注意这句的节奏感。while表示两件事同时发生，thereby表示其中一件的结果。这样的表达十分紧凑。状语从句中当然还可以有状语，比如：He left when he was tired after a whole day's work.这句里after a whole day's work就是时间状语从句里的时间状语。...
你可以理解为是补语，是对while的一个补充。不是状语的状语因为门没有强制被撬起，所以证明小偷怎么样。 thereby 引导的是一个补语从句，做补充说明的。就和你举例的最后一句一样的语法。he became a citizen in 1978, thereby gaining the right to vote.他成为了一个市民，所以...
