对一类非自然数变量问题的数学归纳法证明开远市一中佘维平
661600（本文发表于北京《数理天地》2000·4）一 、变量为整数例1设X∈Z, 求证:( +1) 2k+1 –( –1)2K+1 能被2 k+1 整除，但不能被2 k+2 整除。证明：设f (x) = ( +1) 2k+1 –( –1)2k+1 ⅰ当X=0时f(0)=( +1)–( –1)=2,命题成立； 当X=1时f(1)=( +1)3 –( –1)3 =20=22 ·5,2 2 ·5能被2 2整除，但不能被2 3整除,故命题成立；ⅱ设当X=k–1、k（k∈N）时,命题成立，即 f(k–1)=( +1)2k–1 –( –1)2k–1 =2k ·M , f(K)=( +1)2k+1 –( –1)2k+1 =2k+1 ·N其中M、N均为正奇数，则当X=k+1时f(k+1)= ( +1) 2k+3 –( –1)2K+3
=[( +1) k ＋( –1)2][ ( +1) 2k+1 –( –1)2K+1]– [( –1)2 ·( +1) 2k+1 –( –1)2K+1 ·( +1) 2 ]=8·f(k)–( +1)2 ·( –1)2 [( +1)2k–1 –( –1)2k–1]=8·f(k)–4·f(k–1)=2k+4 N–2k+2 ·M=2k+2(4N–M)
∵ 4N–M是奇数，∴ f(k+1)能被2 ( k+1)+1整除，但不能被2 ( k+1)+2整除， 即n=k+1时命题也成立。ⅲ 假设当X=k+1、k(k∈Z且k≤0) 时命题成立，即
f(k+1)= ( +1) 2k+3 –( –1)2K+3 =2 k+2 ·P f(K)=( +1)2k+1 –( –1)2k+1 =2k+1 ·Q，其中P、Q均为负奇数, 则当X=k–1时 f(k–1)=( +1)2k–1 –( –1)2k–1
=[( +1) –2 +( –1)–2][ ( +1) 2k+1 –( –1)2K+1]–
[( –1)–2 ·( +1) 2k+1 +( –1)2K+1 ·( +1) –2 ] =2·f(k)–( –1)–2 ·( +1)–2 [( +1)2k+3 –( –1)2k+3] =2·f(k)–2–2·f(k+1) =2k+4·Q–2k ·p =2k ·(2Q–P)∵ 2Q–P是奇数，∴ 2 k (2Q–P)能被2 ( k–1)+1整除，但不能被2 ( k–1)+2除，
∴ n=k–1时命题也成立。 由ⅰ、ⅲ知，对任意负整数，命题成立， 综合ⅰ、ⅱ、ⅲ知，对任意整数，命题成立。评注：此题证明中步骤 ⅲ 使用了倒推归纳法，在用数学归纳法证明整数变量的问题时，这无疑可用于解决变量为负整数的情形。但对一些较为简单的问题，也可考虑其他方法，如例2中第二步的证明，就是通过对变量符号的巧妙转换而完成的。
二、变量为有理数例2、一个定义在有理数集合Q上的函数f(X)对一切x、y∈Q都有f(X)=f(X)+f(Y),求证：对任意X∈Q，f(X)=X·f(1).
分析：直接证明较难，由于当m、n (n≠0)为互质整数时， ∈Q,故考虑把X分为n(n≠0)、0与-n、 (m∈N)及 几类,这样可用数学归纳法解决第一类情形，其他几类情形便可迎刃而解.证明：第一步，证明结论对X∈N 成立.
ⅰ 当X=1时
f(1)=1·f(1),结论成立；
ⅱ 设X=k(k∈N)时结论成立，即f(k)=k·f(k),
则当X=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)=(k+1)·f(1)
结论也成立。
由ⅰ、ⅱ知，对X∈N,命题成立。
第二步，证明结论对零与负整数成立。
∵ f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
∴ f(0)=0=0·f(1)
又∵ f(n)+f(-n)=f[n+(-n)]=f(0)=0,(n∈N)
∴ f(-n)=-f(n)=-n·f(1)
即对零与负整数，结论成立。
第三步，证明当X= （m∈Z,m≠0）时结论成立。
设n∈N,则f(1)=f( + +……+ )=f( )+f( )+……+ f( )=n·f( )
n个
n个
∴f( )= ·f(1)
同时，由f( )＋f(－ )＝f(0)＝0有f(- )＝－ ·f(1)
∴ 结论成立。
第四步，证明结论对一切有理数成立。
设m∈N、n∈Z,且n≠0
∵ f( )= f( + +……+ )=m·f( )= ·f(1)
n 个
∴ 对一切有理数X= ,f(X)=X·f(1)成立。评注：此题由于合理巧妙地划分变量而使数学归纳法得以应用其中，并较简便地使问题求得解决。这对今后解决类似问题时无疑是有借鉴作用的，此外，问题的求解过程体现了分散难点、各个击破的分类思想，充满了数学的策略和美。2000.2.10.（本文字符数：1941）参考资料：http://www.100point.com/teacher/100point/resource/lunwen/swp139/Study/CStudy0000000017.htm
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