设f(x)在[0,2]连续,且f(0)=f(2),证明:在[0,2]上存在点ζ,使f(ζ)=f(1+ζ)

显示全部楼层 · 2011-11-9 10:19:52

证明:作函数F(x)=f(x)-f(x+1)则F(x)在[0,1]上是连续函数,且F(0)=f(0)-f(1),
F(1)=f(1)-f(2)=f(1)-f(0)=-F(0)
(1)若F(0)=0,则命题成立,此时ζ=0或1.若F(0)不为零,则不妨设F(0)>0,则由(1)式知F(1)<0.于是由根的存在定理知,存在ζ属于[0,1]当然也在[0,2]上,使得F(ζ)=0,即有f(ζ)=f(1+ζ)....

千问 · 2011-11-9 10:19:52

根据题意可得：在(a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b)，使得 f(ξ)为最值.若令x1∈[0,ξ],x2∈[ξ,2],且f(x1)=f(x2),则必然存在无数对满足条件的x1和x2。又因为f(0)=f(2)，f(ξ)为最值，则x2-x1∈[0,2].又因为f(x)在[0,2]连续，即，f(x)在[0,ξ]和[ξ,2]也分别都是连续的，所以x2...