设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明-1是A的一个特征值

显示全部楼层 · 2021-8-4 11:55:57

|A+I|=|A+AA^T|=|A|*|I+A^T|=|A|*|I+A|=-|A+I|，其中倒数第二个等号是因为转置得行列式等于本身，移项得结果。n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。n阶行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变。性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。性质4 如果行列式中有两行（列）相...

千问 · 2021-8-4 11:55:57

证明:|A+E|= |A+AA^T|= |A(E+A^T)|= |A||(E+A)^T|= |A||A+E|所以 |A+E|(1-|A|)=0因为 |A|且|^因为AAT=E，所以A为正交矩阵，且|A|<0，所以|A|=-1|A+E|=|A+AA^T|= |A(E+A^T)|证明假设A特征值为λ，则A^()-1=A^t，特征值相同：λ=...

千问 · 2021-8-4 11:55:57

这个证明很简单，过程如下：1. 由AAT=E可知，A是一个正交矩阵，那么A中任何一个特征值的模都为1；2. 假设A的所有特征值都是1，那么A的行列式必然等于1，这与A的行列式小于0矛盾，因此假设不成立，所以-1是A的一个特征值，证毕！...

千问 · 2021-8-4 11:55:57

证明: |A+E|= |A+AA^T|= |A(E+A^T)|= |A||(E+A)^T|= |A||A+E|所以 |A+E|(1-|A|)=0因为 |A|<0, 所以 1-|A|≠0所以 |A+E|=0所以 -1 是A的特征值....