求解一道积分题目，∫∫(X+Y)³dxdy, 积分区域D是由X=√(1+y²)与X+√2*y=0和X-√2*y=0围成

显示全部楼层 · 2013-1-1 02:20:23

虽然积分区域是关于x轴对称的。但是被积函数(x + y)3却不是对称的。所以不能用对称性解吧~~假设有两个四面体，虽然它们的底都是同样的三角形，但是它们的高不一样，所以体积也未必一样。所以∫∫_(D) (x + y)3 dxdy= ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y2)) (x + y)3 dxdy + ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y2)) (x + y)3 dxdy= A + BA = ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y2)) (x + y)3 dxdy = ∫(- 1→0) C dyC = ∫(- √2y→√(1 ...

千问 · 2013-1-1 02:20:23

积分区域为半径=1的扇形，角度从-α到α。tanα=1/√2(x+y)3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3由对称性：∫∫(3x^2y+y^3)dxdy=0,∫∫(X+Y)3dxdy=∫∫(x^3+3xy^2)dxdy,用极坐标：=∫(-α,α)dθ∫(0,1)(r^3(cosθ)^3+3r^3cosθ(sinθ)^2...