求证：当0<x<π/2时，tan x>x+(x^3)/3

显示全部楼层 · 2013-1-30 19:08:23

解法一：令F(x)=tanx-x-x^3/3，等式两边同时求导，得：F’(x)=1+tan^2x-1-x^2=tan^2x-x^2；根据函数曲线特征可知，当x∈(0,π/2)，tanx>x，∴F’(x)>0,F(x)在(0,π/2)内单调递增；又∵当x=0时，F(0)=0,∴F(x)恒>0，即tanx>x+x^3/3。命题得证。解法二：由泰勒公式tanx=x+x^3/3+2x^5/15+...，可知x∈(0,π/2)时，F(x)=tanx-x-x^3/3=2x^5/15+...>0，命题得证。...

千问 · 2013-1-30 19:08:23

证明：构造函数f(x)=tanx-x-(x^3)/3则 f(0)=0f'(x)=sec2x-1-x2=tan2x-x2=(tanx-x)(tanx+x)∵ 0x>0∴ tanx-x>0,tanx+x>0∴ f'(x)>0即 f(x)在0<x<π/2 上递增...

求证：当0<x<π/2时 ，tan x>x+(x^3)/3

求证：当0<x<π/2时，tan x>x+(x^3)/3