若n阶矩阵A=[α1，α2，...，αn]的前n-1个列向量线性相关，后n-1个线性无关，β=α1+α2+....+αn,证明

显示全部楼层 · 2012-10-6 22:54:16

1.、A=[α1，α2，...，αn]的前n-1个列向量线性相关，后n-1个线性无关所以r(A)=n-1<nβ=α1+α2+....+αn是α1，α2，...，αn的线性组合所以增广矩阵的秩r(A|β)=r(A)所以方程组Ax=β必有无穷多解2.若[k1，k2，...，kn]T是Ax=β的解则k1α1+...+knαn=α1+...+αn即(k1-1)α1+...+(kn-1)αn=0假设kn≠1，则αn=(k1-1)/(kn-1)α1+... + (kn-1 -1)/(kn - 1)αn-1所以r(A)=r(α1，α2，...，αn)=r(α1，α2，...，αn-1)<n-1...

千问 · 2012-10-6 22:54:16

1、首先，(1,1,...,1)^T是他的解，故其有解而r(A)=n-1<n，故其有无穷组解。2、若[k1，k2，...，kn]T是Ax=β的任一解则k1α1+k2α2+...+knαn=β=α1+α2+....+αn则(k1-1)α1+(k2-1)α2+...+(kn-1)αn=0若kn不等于1则αn可由其他向量线性表示，又前n...