十字相乘法

显示全部楼层 · 2007-3-13 21:03:20

例:x2+3+2x=0(x2意为x的平方)将未知数的2次项和一次项的系数分别分为两个整数的乘积的形式,然后交叉相乘,是两个积的平方将x2的系数1分为两个整数相乘(显然此处只能是1*1或-1*-1),再将2x的系数2分为两个整数相乘(显然此处只能是1*2,或-1*-2),然后选一种合适的组合,满足x2+ 3 +2x =01
11
2中间十字交叉相乘,即左边上面的1乘以2,左下的1乘以右上的1,两个积的和为3,则正确.再举一例:2x2-5
-3x=01
-32
1明白?:)

千问 · 2007-3-13 21:03:20

例1 把2x2－7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1
1
?
2
3
1×3+2×1
=5
1
3
?
2
1
1×1+2×3
=7
1
－1
?
2 －3
1×(－3)+2×(－1)
=－5
1
－3
?
2
－1
1×(－1)+2×(－3)
=－7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1
c1
?
a2
c2
a1a2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2 把6x2－7x－5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2
1
?
3
－5
2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是
1
－3
?
1
5
1×5+1×(－3)=2所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1
2
?
5
－4
1×(－4)+5×2=6解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y) 2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1
－2
?
2
+1
1×1+2×(－2)=－3指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.三、课堂练习1.用十字相乘法分解因式：(1)2x2－5x－12；
(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；
(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；
(6)4x2+24x+27.2.把下列各式分解因式：(1)6x2－13xy+6y2；
(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.答案：1.(1)(x－4)(2x+3)； (2)(x－2)(3x+1)；
(3)(2x－1)(3x－5)； (4)(x－3)(7x+2)； (5)(3x－1)(4x－3)； (6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x－3y)(3x－2y)；(2)(2xy+5)(4xy－7)； (3)(3x－y)(6x－5y)；(4)(3a－b)(5b－a).四、小结1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：
a1 c1
在式子 ?
中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的
a2c2两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.五、作业1.用十字相乘法分解因式：(1)2x2+3x+1；
(2)2y2+y－6；(3)6x2－13x+6；
(4)3a2－7a－6；(5)6x2－11xy+3y2；
(6)4m2+8mn+3n2；(7)10x2－21xy+2y2；
(8)8m2－22mn+15n2.2．把下列各式分解因式：(1)4n2+4n－15；
(2)6a2+a－35；(3)5x2－8x－13；
(4)4x2+15x+9(5)15x2+x－2；
(6)6y2+19y+10；(7)20－9y－20y2；
(8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2) 2.答案：1.(1)(2x+1)(x+1)；
(2)(y+2)(2y－3)； (3)(2x－3)(3x－2);
(4)(a－3)(3a+2); (5)(2x－3y)(3x－y);
(6)(2m+n)(2m+3n); (7)(x－2y)(10x－y);
(8)(2m－3n)(4m－5n).2.(1)(2n－3)(2n+5);
(2)(2a+5)(3a－7); (3)(x+1)(5x-13);
(4)(x+3)(4x+3); (5)(3x－1)(5x+2);
(6)(2y+5)(3y+2); (7)－(4y+5)(5y－4); (8)(x+2y+3)(7x－10y－27).参考资料：http://www.cbe21.com/subject/maths/html/040201/2001_01/20010109_269.html

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