椭圆离心率范围题

显示全部楼层 · 2007-10-24 15:44:43

我是提问人。我以这种方式来回复大家一下：scm_abc - 进士出身八级，caijie0002 - 助理二级，专家风重的回忆 - 高级魔法师七级，化简之后，都是方法一一样的结果，3次方程。2e^3-2e^2-2e+1=0。至于还有几个估计值的那不行！答案是√2-1（根号下2 减一，（根号下只有2））但是过程总是不知道或者不如人愿。大家请考虑下方法二那样的类似方法，构造A/B，或者什么的。然后解2次的方程，或者方程组的方法……至于LS的方法YangtseDing - 江湖新秀四级，我还没懂，能仔细点么。谢谢

千问 · 2007-10-24 15:44:43

先求直线AB的方程：y-0=(b-0)/(0-a)(x-a)
bx+ay-ab=0 右焦点F到直线AB的距离等于|bc-ab|/√a^2+b^2右焦点F到原点的距离等于c.由于它们相等，所以|bc-ab|/√a^2+b^2=c
|bc-ab|=c√a^2+b^2
b^2c^2+a^2b^2-2ab^2c=c^2(a^2+b^2)
a^2b^2-2ab^2c-a^2c^2=0
①由于a^2-b^2=c^2,所以b^2=a^2-c^2
②将②带入①得 a^4-a^2c^2-2ac(a^2-c^2)-a^2c^2=0移项
a^4-2a^2c^2-2a^3c+2ac^3=0两边同除以a^4,得1-2e^2-2e+2e^3=0因式分解

千问 · 2007-10-24 15:44:43

b2x2+a2y2=a2b2x2/a2+y2/b2=1e2=a2/(a2+b2)=a2>0,b2>0,a20,由P点向x轴引垂线,垂足为M,则∠APM+∠BPM=90o∴tan120o=tan(∠APM+∠BPM)===>-√3=[(a+x+a-x)/y]/[1-(a2-x2)/y2]=2ay/[y-a2+x2],由P点在椭圆上，消去x2,得:y=2ab2/[√3c2]∵00<2ab/[√3(a2-b2)]≤1,√3a2-2ab-√3b2≥0解得:a≥√3b,或a≤-b/√3(舍去)∴b2/a2≤1/3,由e2=1-b2/a2,得:e2≥2/3,∴e≥√6/3又:0<e<1∴√6/3<e<1(a^2 -c^2)*(c-a)^2 =c^2*(2a^2 -c^2)(1-e^2)(1-1/e)^2=(2-e^2)(1-e^2)(-2/e+1/e^2)=1(1-e^2)(-2e+1)-e^2=02e^3-2e^2-2e+1=0

千问 · 2007-10-24 15:44:43

首先，表扬一下你的计算能力。其实这道题的确是可以有稍微简单一点的方法的。过F点作AB的垂线交AB与D，原点为O，则，FD=FO,所以,角FBA=角FBO;由三角形角平分线的性质：OB/BA=OF/FA；上式直接平方，把线段长度都带入，可以得到：b^2/(a^2+b^2)=c^2/(a-c)^2整理，变形：(a^2-c^2)/(2*a^2-c^2)=c^2/(a-c)^2;（只留a，c）分子分母同时除以a^2:(1-e^2)/(2-e^2)=e^2/(1-e)^2=1/(3-2*e)（后一个等号利用等比定理化简）；这个方程可以利用三角换元的办法来解决。令：e=(sin t)^2；后面利用三角变换可以解决。

千问 · 2007-10-24 15:44:43

C到AB距离为c用三角形面积算：AC*OB=AB*cc√(a^2+b^2)=(a-c)b由c=ae,b=√(a^2-c^2)=a√(1-e^2)得e√(2-e^2)=(e-1)√(1-e^2)e^3-e^2-e+1/2=0即然有方程说明解是固定的，不存在范围问题这个方程解析解太烦，我算了一下数值近似解：e=0.4030,e=-0.8546,e=1.4516后两个舍去，离心率为0.4030左右

千问 · 2007-10-24 15:44:43

易得直线方程:bx+ay-ab=0;根据题意:c=bc+ab/√a*a+b*b化间得：c2=b(a-c)两边平方可得：c4=b2(a2-2ac+b2)=(a2-c2)(a2-2ac+c2)再除以a4得：1-2e+2e3-2e4=0;结果自己再算算，我还没有算出来！

千问 · 2007-10-24 15:44:43

BF显然是∠OBA的平分线,设该角=αtgα=a/btg(α/2)=c/btgα=2tg(α/2)/{1-[tg(α/2)]^2}a/b=(2c/b)/[1-(c/b)^2]ac^2+2b^2c-ab^2=0把b^2=a^2-c^2代入式中得:2c^3-2ac^2-2a^2c+a^3=02e^3-2e^2-2e+1=0解这个三次方程就有结果了近似值为0.403032