平面几何题

显示全部楼层 · 2010-7-5 18:58:50

已知一个三角形的两条角平分线相等，请证明该三角形是等腰三角形。（请用直接证明的方法，不得使用反证法或其他间接证法。）

千问 · 2010-7-5 18:58:50

证明：设CF、BE交于O BE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，∵∴BD=CE∴AB/AE=AC/AD（等量代换） ∵∠A是公共角∴三角形ACD∽三角形ABE∴∠ACD=∠ABE，∠BDC=∠BEC，BD=CE，∴三角形BOD≌三角形OEC，∴OB=OC且∠DBE=∠ECD，OB=OC∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC∴三角形是等腰三角形

千问 · 2010-7-5 18:58:50

有两条边相等的三角形就是等腰三角形，不需要证明。

千问 · 2010-7-5 18:58:50

证明：设CF、BE交于O∵CF、BE分别是∠ACB，∠ABC的平分线，∴O是内切圆圆心，OE=OF（半径！）∵BE=CF，∴BO=CO，即三角形OBC是等腰三角形∴∠OBC=∠OCB （！）而∠ABC=2∠OBC∠ACB=2∠OCB所以∠ABC=∠ACB所以三角形ABC是等腰三角形

千问 · 2010-7-5 18:58:50

设CF、BE交于O BE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理可得BC/BD=AC/AD，∵∴BD=CE∴AB/AE=AC/AD（等量代换） ∵∠A是公共角∴三角形ACD∽三角形ABE∴∠ACD=∠ABE，∠BDC=∠BEC，BD=CE，∴三角形BOD≌三角形OEC，∴OB=OC且∠DBE=∠ECD，OB=O