复变函数里一般复数的复数次幂

显示全部楼层 · 2009-8-4 04:50:26

解决这个问题主要是运用公式w^z=exp(z*Lnw)=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}其中w、z是复数，注意Lnw是多值函数！所以下面的结果都是多值函数，不同的值通过不同的k来区别。令θ=arg(a+ib),R=√(a2+b2)，则 (a+ib)^(a+ib)=exp{[i(θ+2kπ)+lnR]*(a+ib)}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*exp{i[(θ+2kπ)*a+blnR]}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*{cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]令φ=arg(cosa+icosb),K=√[r2(cos2a+cos2b)]，则 (r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))=exp{i(φ+2kπ+lnK)*r*(cosa+i*cosb)}=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*exp{i*r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*(cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]})=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}i^i=exp{i[(π/2)+2kπ]*i}=exp{-[(π/2)+2kπ]}，其中k∈Z

千问 · 2009-8-4 04:50:26

一下计算没有考虑对数函数的多值性a=r exp(i f)b=x+i ya^b= [r exp(if)]^(x+iy) = r^(x+iy) exp(if(x+iy)) = r^x * r^(iy) * exp(ifx)*exp(-fy) = (r^x exp(-fy))*exp(ifx+iy ln r) = (r^x exp(-fy))*exp(i*(fx+ylnx))

千问 · 2009-8-4 04:50:26

a^b被定义成多值函数 exp( b * log(a) )