垂径定理及其证明

显示全部楼层 · 2007-1-7 17:06:10

证明时一般通过对乘还有全等证明

千问 · 2007-1-7 17:06:10

垂径定理的证明如图，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD　　证明图示连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B∵OA、OB是⊙O的半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC∴弧AC=弧BC推导定理推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平原本命题，其中CD垂直于直线AB分这条弦所对的两段弧。几何语言：因为DC是直径，AE=EB，所以直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。几何语言：因为DC垂直AB，AE=EB，所以DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。